matematicas

MODULO: 3
EVIDENCIA: 3
FECHA: JULIO 2013
Analiza el siguiente planteamiento, la longitud de la base de un paralelepípedo es el triple que el ancho del mismo, y la altura es hcm, como se muestra en la figura, el total del área es Acm² y el volumen es Vcm³.

a) Demuestra que el A=6x²+8xh
b) Si A=200, obtén una expresión para h en términos de x.
c) SiA=200, demuestra que el volumen V(x)=75x-9/4x³.
d) Encuentra V(x).
e) Con los criterios de la primera y segunda derivada, demuestra que el punto (10/3,500/3) es un punto máximo.NOTA: x=10/3 es el valor crítico.
f) Encuentra el volumen máximo.
g) ¿Cuál es la altura (h) del paralelepípedo donde se maximiza el volumen?


RESPUESTA:

a) A=2(3x)(x)+2xh+2(3x)h→
A=6x²+8xh→ecuacion 1
V=(3x)(x)(h)→
V=3X²h→ecuacion 2
b) Si A=200 obtén una expresión para h en términos de x
Sustituimos A=200 en la ecuación1
6x²+8xh=200
Despejamos h:
h= 200-6x²/8x
Simplificamos entre 2 queda:
H=100-3x²/4x
c) Si A=200, demuestra que el volumen V(x)=75x-(9/4)x²
De la expresión obtenida en lapregunta b)
H=100-3x²/4x
Pasamos 4x ala izquierda
4xh=100-3x² se multiplica todo por 3x/4 (esto se realiza para obtener del lado izquierdo una expresión equivalente al volumen):(3x)4xh/4=3x(100-3x²)/4
Simplificamos del lado izquierdo, eliminamos paréntesis del lado derecho:
3x²h=300x-9x³/4 el lado izquierdo representa el volumen, se paramos en 2 fraccionesa la derecha;
V(x)=300x/4-9x³/4 simplificamos la fracción de lado derecho V(x)=75x-9x³/4→ecuacion 3
d) Encuentra V'(x)
v'(x)=75-27x²/4
e) Realizamos V'(X)=0
75-27x²/4=0despejamos x²
x²=75(4)/27=300/27=100/9=10²/9² despejamos x
x=(10²/9²)→ x=10/9 para saber si es un mínimo o un máximo utilizamos el criterio de la segunda derivada:
Si F'(X)