matematicas

Álgebra de Boole
El Álgebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 o 1. Y las operaciones básicas son OR(+) y AND(·).
Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).

En la ausencia de paréntesis, se utilizan lasmismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el ´algebra normal.

En el álgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:

1) Conmutatividad:
X + Y = Y + X
X · Y = Y · X

2) Asociatividad:

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X · (Y · Z) = (X · Y) · Z

3) Distributividad:
X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)
X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)

4) ElementosNeutros (Identidad):
X + 0 = X
X · 1 = X
5) Complemento:
X + X = 1
X · X = 0

6) Dominación:
X + 1 = 1 X · 0 = 0

demostración:
X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X)
(X + 1) · (X + X) = X + (1 · X) = 1

7) Idempotencia:
X + X = X
X · X = X

Doble complemento:
X = X
.
9) Absorción:
X + X · Y = X
X · (Y + X) = X
demostración:
X + X · Y = (X · 1) + (X · Y) = X · (1 + Y) =X
De Morgan:
A · B = A + B
A + B = A · B

Teoremas
Luego se establecen los siguientes Teoremas:
Teorema de la Simplificación
A + A · B = A + B
A · (A + B) = A · B

Demostración!:
A · A = 0
A · A + B = B
(A + B) · (A + B) = B
A · (A + B) · (A + B) = A · B
A · (A + B) = A · B

RAE ´
Teorema del complemento único
Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2)
A + A1 = 1 A + A2 = 1
A· A1 = 0 A · A2 = 0
Luego,
A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2) = A1 · A + A1 · A2
A1 = 0 + A2 · A1
A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1) · A2
A1 = 1 · A2 = A2
RAE ´
Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea Complementada o sin complementar, en una expresión de Conmutación.

Por ejemplo, en la expresión de conmutación:
A · B + C · A + D + B · 1
A, B, C y D son Variables.
A, B, C, A, D y Bson Literales.
1 es una Constante.
RAE
Expresión Dual: Esta expresión se obtiene, intercambiando Las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando Las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresión de Conmutación.

Por ejemplo, para la expresión de conmutación:
(A · B) + (C · D) + 0
La Expresión Dual es:
(A + B) · (C + D) · 1

Las funciones de conmutación se pueden expresar: deForma Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Canónica.
La manera más didáctica de representar una función de Conmutación es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella se muestran los valores de salida para cada combinación de valor de entrada.
Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas Combi nacionales.
RAE
Ejemplo de una tabla de Verdad
Dada una tabla de verdad tambiénes posible obtener la forma Algebraica.
Existen 2 métodos para identificar la forma algebraica: la Forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva.
En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario Identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar
Los términos (conjunciones fundamentales) que los Representan.
Para formar las conjunciones fundamentales, se usa lavariable complementada si para esa combinación tiene un cero, o se deja sin complementar, si en la combinación hay un 1.

Ejemplo:



Del ejemplo anterior, se suman las conjunciones fundamentales, resultando la forma normal disyuntiva:



Estos términos formados por todas las variables conectadas mediante operadores AND se denominan min términos (Conjunciones fundamentales).
Como la funciónde conmutación corresponde a un OR de todos los min términos, se puede expresar también de la forma Canonica (OR canónico de AND).

RAE ´


Para la representación de la forma canónica, se utilizan las posiciones de los min términos en la Tabla de Verdad.




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Los pares {a, b} no son pares ordenados, es decir, el orden de los elementos a y b no juega ningún rol en el...