matematicas

Vectores en el espacio tridimensional
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.


Componentes de un vector en el espacioSi las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Determinar la componentesde los vectores que se pueden trazar el el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).





Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientadoque lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes


Dados los vectores y ,hallar los módulos de y •


Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos



Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene deextremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste enasociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.



Operaciones de vectores en el espacio
Suma devectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.


Ejemplos
Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1,2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores y , hallar el módulo del vector .


Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+=
Elemento opuesto
+ (− ) =

Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo...