matematicas

DESARROLLO PRUEBA No 1nGRUPOS, ANILLOS Y CUERPOS
(Prof. A. Suazo D.)

1. (3 pt.s) Sean a, b enteros tales que ab 6= 0 y M = {ax + by / x, y ∈ Z}. Es
claro que en M existen enteros positivos. Sead el menor entero positivo de
M. Demostrar que dÁb.
Demostración
Sea d el menor entero positivo de M. Entonces existen enteros u, v tales que
au + bv = d. Por el algoritmo de Euclides, para b y d,existen enteros q, r tales que
b = dq + r con 0 ≤ r < d. Ahora, b = (au + bv)q + r, de donde, b − auq − bvq = r.
Luego, a(−uq) + b(1 − vq) = r, de donde r ∈ M con 0 ≤ r < d. Como d es el menorentero positivo de M, entonces necesariamente r = 0. Así, b = dq, lo que demuestra
que dÁb.
2. (3 pts.) Sean a, b, c, d enteros, todos no nulos, tales que ab+cd = 1. Demostrar
que (a, d) = 1.Demostración
Sabemos que el máximo común divisor de a y d, existe. Sea (a, d) = c0 . Entonces,
c0 ∈ Z+ , c0 Áa y c0 Ád. Como c0 Áa y c0 Ád, entonces c0 Áab + dc . Es decir, c0 Á1.
Luego, 1 = c0 q con q ∈Z. Dado que, c0 ∈ Z+ entonces q ∈ Z+ . Ahora, c0 q = 1,
implica que c0 = q = 1, lo que demuestra que (a, d) = c0 = 1.
3. (3 pts.) Demostrar que (3, n2 + 1) = 1, para todo n ∈ Z+ .
DemostraciónNotemos primero que dado n ∈ Z, entonces, por el algoritmo de Euclides, existen
enteros q, r tales que n = 3q + r con 0 ≤ r < 3. Así, n = 3q ó n = 3q + 1 ó n = 3q + 2.
Supongamos que existe n ∈ Z+ talque (3, n2 +1) 6= 1. Entonces (3, n2 +1) = c 6= 1.
Así, c ∈ Z+ , cÁ3 y cÁn2 + 1. Como c ∈ Z+ , cÁ3 y c 6= 1, entonces c = 3. Por lo
tanto, 3Án2 + 1, de donde n2 + 1 = 3k con k ∈ Z.
Si n = 3q,entonces (3q)2 + 1 = 9q2 + 1 = 3k, de donde 3(k − 3q2 ) = 1. Así, 1 es
un múltiplo de 3, lo que es una contradicción.
Si n = 3q+1, entonces (3q+1)2 +1 = 9q2 +6q+2 = 3k, de donde 3(k−3q 2 −2q) = 2.
Así,2 es un múltiplo de 3, lo que es una contradicción.
1

Si n = 3q+2, entonces (3q+2)2 +1 = 9q 2 +12q+5 = 3k, de donde 3(k−3q 2 −4q) = 5.
Así, 5 es un múltiplo de 3, lo que es una contradicción....