matematicas

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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PARA EMPEZAR…
▼ Resolución de ecuaciones al estilo árabe
Observa cómo resolvían los árabes, geométricamente, algunas ecuaciones de segundo grado: las del tipo x 2 + px = q. Por ejemplo, x 2 + 12x = 64:
3

x2

x2

9

3

x 2 + 12x(= 64)

9

9

x

3x
3x

ÁREA:

3

x

9

3

x 3x
3

ÁREA:3

3x

3
x

3

x

ÁREA:

64 + 4 · 9 = 100

El área del último cuadrado es 100. Su lado es 10.
3 + x + 3 = 10 8 x = 4
■

Revisa minuciosamente todos los pasos anteriores y resuelve del mismo modo estas ecuaciones:
a) x 2 + 8x = 84

b) x 2 + 20x = 169

a) x 2 + 8x = 84
2

x
2x

2
x

x2

x 2x
2

ÁREA:

x2

2x

2
4

4

4

x
2

x 2 + 8x(= 84)

x4

2

2x

ÁREA:

2

2

ÁREA:

84 + 4 · 4 = 100

El área del último cuadrado es 100. Por tanto, su lado mide 10. Así:
2 + x + 2 = 10 8 x = 6
b) x 2 + 20x = 169
5

x
5x

5
x

x2

x 5x
5

ÁREA:

x2

ÁREA:

5

5

x

5 25
5x

5x

x 2 + 20x(= 169)

Unidad 5. Ecuaciones

25

x
5 25
ÁREA:

25

169 + 4 · 25 = 269

El área del último cuadradoes 269. Por tanto, su lado mide 16,4.
5 + x + 5 = 16,4 8 x = 6,4

5

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
▼ Traduce a lenguaje simbólico

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Según la mitología griega, un epitafio sobre la tumba de Diofanto de Alejandría reza, más o menos, así:
Su juventud ocupó la sexta parte de su vida. Durante la siguiente doceava parte, su mejilla se cubrió de vello. Pasó unaséptima parte más antes de casarse.
Cinco años después tuvo un hijo. Este murió a la mitad de la edad que alcanzó
su padre. Diofanto aún vivió cuatro años después de la muerte de su hijo.
■

■

Traduce, paso a paso, a lenguaje algebraico, la descripción de la vida de Diofanto
y comprueba que murió con 84 años.
Supongamos que la vida entera de Diofanto duró x años. Entonces:
• Juventud: x6

• Su mejilla se cubrió de vello: + x

12

• Antes de casarse: + x
7
• Tuvo un hijo: + 5
• Su hijo murió a los x años.
2

• Diofanto vivió luego: + 4
Por tanto, Diofanto vivió:
x = x + x + x + 5 + x + 4 8 x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 8
6

12

7

2

84

8 x = 75x + 756 8
84

8 84x = 75x + 756 8 9x = 756 8 x = 84
Diofanto vivió 84 años.

Unidad 5. Ecuaciones5

Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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1 ¿Es 5 solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Justifica tu respuesta:
a) 8x + 3 = 11x – 12

b) x 4 – x 3 = 500

c) 3x – 7 = x 2 – 10

d) 1x = 5

e) x 2 – 12 = 4x – 7

f ) 2x – 1 = 16

g) x 3 + x 2 + 2x + 1 = 161

h) 10x + 25 = x 3

i) x 2 – 20 = 2x – 5

j) √3x + 1 = 16

k) (2x – 3)2 =144

l) 3(x 2 + 3) – 84 = 0

a) 8 · 5 + 3 = 43 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
11 · 5 – 12 = 43 £
b) 54 – 53 = 500 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
500
£
c) 3 · 5 – 7 = 8 °
¢ 8 x = 5 no es solución de la ecuación.
52 – 10 = 15 £
d) 15 = 1 °
¢ 8 x = 5 no es solución de la ecuación.
5
£
e) 52 – 12 = 13 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
4 · 5 – 7 = 13 £
f ) 25– 1 = 16 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
16
£
g) 53 + 52 + 2 · 5 + 1 = 161 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
161
£
h) 10 · 5 + 25 = 75 °
¢ 8 x = 5 no es solución de la ecuación.
53 = 125
£
i) 52 – 20 = 5 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
2 · 5 – 5 = 5£
j) √3 · 5 + 1 = 4 °
¢ 8 x = 5 no es solución de la ecuación.
16
£
k) (2 · 5 – 3)2 = 49 °
¢ 8 x = 5 no essolución de la ecuación.
144
£
l) 3(52 + 3) – 84 = 0 °
¢ 8 x = 5 es solución de la ecuación.
0
£
Unidad 5. Ecuaciones

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
2 En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y di cuál es su
grado.
a) 8x + 3 = 11x – 12

Ecuación polinómica de grado 1.

b) x 4

= 500

Ecuación polinómica de grado 4.

x2

–...