matematicas

FUNCIONES

´
MATEMATICAS I
UNE Licenciatura en Turismo

Ricardo Mart´
ınez Mart´
ınez
12 de Agosto del 2013

1.

Definici´n y notaci´n de funciones
o
o

Las funciones representan el principal objeto de an´lisis en el c´lculo, ya que constituyen la
a
a
clave para describir el mundo real en t´rminos matem´ticos. La temperatura a la que hierve el
e
a
agua depende de la alturasobre el nivel del mar. La tasa de inter´s que se paga por una inversi´n
e
o
monetarioa depende de cu´nto tiempo dure invertido el dinero. El area de un circulo depende
a
´
de su radio. En cada uno de estos casos, el valor de una cantidad variable, que llamaremos
y, depende del valor de otra variable, que ser´ x. Por ejemplo, la ecuaci´n A = πr2 es una
a
o
regla para calcular el area A deun c´
´
ırculo a partir de su radio r. En c´lculo, es posible que
a
en alg´n momento queramos referirnos a una funci´n no espec´
u
o
ıfica sin contar con una f´rmula
o
determinada. Una manera simb´lica de decir ”y es una funci´n de x”, consiste en escribir
o
o
y = f (x)
.

2.

Dominio y rango de una funci´n
o

Una funci´n de un conjunto D a un conjunto Y es una regla que asignaun elemento unico
o
´
f (x) ∈ Y a cada elemento x ∈ D. El conjunto D de todos los valores de entrada posibles se
llama dominio de la funci´n. El conjunto de todos los valores de f (x) a medida que x var´
o
ıa
en todo D se denomina rango de la funci´n.
o
Funci´n
o
y = x2
y = 1/x
√
y= x
√
y =√ 4 − x
y = 1 − x2

Dominio (x)
(−∞, ∞)
(−∞, 0) ∪ (0, ∞)
[0, ∞)
(−∞, 4]
[−1, 1]Rango (y)
[0, ∞)
(−∞, 0) ∪ (0, ∞)
[0, ∞)
[0, ∞)
[0, 1]

Cuadro 1: Ejemplo 1

1

3.
3.1.

Tipos de funciones
Funciones lineales

Las funciones de la forma f (x) = mx + b, para constantes m y b , reciben el nombre de
funciones lineales. En la figura 1 se muestra un conjunto de rectas f (x) = mx donde b = 0,
de manera que estas rectas pasan por el origen. Las funciones constantes sepresentan cuando
la pendiente m = 0.

Figura 1: Grupo de rectas y = mx que pasan por el origen

3.2.

Funciones de potencias

Las funciones f (x) = xa , donde a es una constante, se llaman funciones de potencia.
Dentro de esta categor´ hay varios casos importantes a considerar.
ıa
(a) a = n, un entero positivo. En la figura 2 se muestran las gr´ficas de f (x) = xn , para
a
n = 1, 2,3, 4, 5. Estas funciones est´n definidas para todos los valores reales de x. Observese
a
que, a medida que aumenta la potencia n, las curvas tienden a ensancharse hacia el eje x en el
intervalo (−1, 1), y tambi´n que se elevan con una inclinaci´n mayor para |x| > 1. Cada curva
e
o
pasa por el origen y el punto (1, 1)

2

Figura 2: 2.a f (x) = x2 ; 2.b f (x) = x3 ; 2.c f (x) = x4 ; 2.d f(x) = x5
(b) a = −1 o a = −2. En la figura 3 se muestran las gr´ficas de las funciones f (x) =
a
−2
2
x = 1/x(3.a) y g(x) = x = 1/x (3.b). Ambas funciones est´n definidas para todo x = 0 (en
a
ning´n caso es posible dividir entre cero). La gr´fica de y = 1/x es la hip´rbola xy = 1 que se
u
a
e
2
aproxima a los ejes coordenados lejos del origen. La gr´fica de y = 1/x tambi´n se aproxima
a
ea los ejes coordenados.
−1

Figura 3: 3.a f (x) = x−1 = 1/x; 3.b g(x) = x−2 = 1/x2

3

√
√
1 3
(c) 1 , 3 , 2 y 2 . Las funciones f (x) = x1/2 = x y g(x) = x1/3 = 3 x son las funciones ra´
ız
2
3
cuadrada y ra´ c´ bica, respectivamente. El dominio de la funci´n ra´ cuadrada es [0, ∞),
ız u
o
ız
pero la funci´n ra´ c´bica est´ definida para todo x real. En la figura 4 se muestransus gr´ficas,
o
ız u
a
a
3/2
2/3
3/2
1/2 3
2/3
1/3 2
junto con las gr´ficas de y = x y y = x . (Recuerde que x = (x ) y x = (x ) ).
a

Figura 4: 4.a f (x) =

3.3.

√

x; 4.b f (x) = x1/3 ; 4.c f (x) = x3/2 ; 4.d f (x) =

√
3

x

Polinomios

Una funci´n p es un polinomio o funci´n polinomial si
o
o
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
En donde n es un entero...