Matematicas

Universidad San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática

CLAVE DE EXAMEN
-Matemática intermedia 2Código de curso: 112

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Datos de laclave:

Datos del examen:

Elaborada por:
Ana Beatriz Martínez Rodas

Segundo Examen Parcial
Segundo semestre, 2012
Jornada Matutina

Revisado por:
Ing. Alfredo González

Fecha:16/10/2012

TEMA 1
Para la siguiente integral

9
0

3

1

𝑦2

𝑐𝑜𝑠 𝑥 3 𝑑𝑥𝑑𝑦

a) Dibuje la región de integración:

b) Cambie el orden de integración:
3
0

𝑥2

𝑐𝑜𝑠 𝑥 3 𝑑𝑦𝑑𝑥
0

c)Resuelva la integral:
3

𝑥2

𝑐𝑜𝑠 𝑥
0

0

3

3

𝑑𝑦𝑑𝑥 =

2

𝑥 cos 𝑥
0

3

𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )
𝑑𝑥 =
3

3

=
0

𝑠𝑒𝑛(27)
3

TEMA 2
9𝑥 2 + 9𝑦 2 + 𝑧 = 81
Realizando el área deintegración:

Al graficarla en el eje x, y, z
obtenemos:

3

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

3

a) Coordenadas Rectangulares
Podemos plantear la doble integral que modelala superficie en
coordenadas rectangulares (existen varias formas de planteamiento):
3

9−𝑥 2

81 − 9𝑥 2 − 9𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥

2
−3

0

b) Coordenadas Polares
Podemos plantear la doble integralque modela la superficie en
coordenadas polares (existen varias formas de planteamiento):
2𝜋

3

2𝜋 3
2

81 − 9𝑥 − 9𝑦
0

0

2

(81 − 9𝑟 2 )𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =
0

0

TEMA 3
Latemperatura T en una bola metálica es inversamente proporcional a la
distancia desde el centro de la bola, el cual se considera como origen. La
temperatura en el punto (1, 2, 2) es 120 grados.
Planteandola ecuación del problema:

𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝑘
=
𝑟

𝑘
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Sustituyendo el punto 𝑇 1,2,2 = 120 en la ecuación para encontrar la constante
de proporcionalidad k:

𝑘

120 =

12 +22 + 22

→ 120 =

𝑘
9

→ 𝑘 = 120 ∗ 3 → 𝑘 = 360

Sustituyendo el valor de k obtenemos la ecuación del problema:

𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

360
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Vector gradiente:

1
360 ∗ 2 ∗ 𝑥
1...