Matematicas

Resumen sobre: Números Reales
Elaborado por: Prof. Sonia Arroyo

Concepto y notación El conjunto de los números reales, está formado gráficamente por los siguientes subconjuntos:

R Q Z
-2
0 115

II
-11

N

5

…
-1

... ...
5

...

Esquemáticamente se indica que:

R
(Conjunto de números reales)

Q
(Conjunto de números racionales)

II
(Conjunto de númerosIrracionales)

N
(Conjunto de números Naturales)

Z
(Conjunto de números enteros)

Por extensión se indica cuáles números reales pertenecen a cada uno de los conjuntos mencionados:

• Números naturales: Cero y enteros positivos.

0 N = { ,1,2,3,4...}
• Números enteros: enteros negativos, cero y enteros positivos.

..., Z = { 3, 2, 1,0,1,2,3...}
• Números racionales: cocientes o razones dedos enteros Q=
a /a b Z,b Z,b 0

• Números irracionales: no pueden expresarse como cocientes o razones de dos enteros II =
x R/ x a ,a b Z,b Z,b 0

La unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales, constituyen el conjunto de los números reales. Simbólicamente se expresa:

La intersección de los conjuntos de los números racionales e irracionales, es el conjunto vacío yaque no cuenta con números en común. Lo anterior se denota como:

Q

II = R
Q II = { }

Se presenta a continuación algunas verdades respecto a los diferentes subconjuntos de los números reales: • El conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de los números enteros.

N

Z

• El conjunto de los números enteros es subconjunto del conjunto de los números racionales.

ZQ

Q
R

• El conjunto de los números racionales es subconjunto del conjunto de los números reales.

• El conjunto de los números irracionales es subconjunto del conjunto de los números reales.

II

R

Operaciones Combinadas
Para resolver operaciones combinadas con números reales, se debe respetar la prioridad de las operaciones, es decir, cuando voy a resolver una expresión en lacual hay varias operaciones indicadas, debo proceder a resolverlas con un determinado orden, que se denomina la prioridad de las operaciones: 1. Resuelvo las potencias y los radicales 2. Resuelvo las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan. 3. Reduzco las sumas y restas Existe una segunda prioridad, que es dada por la utilización de los paréntesis, dentro de los cuales, se debecumplir con la prioridad de las operaciones. La prioridad de los paréntesis está dada por el siguiente orden: 1. ( ) paréntesis redondos 2. [ ] paréntesis cuadrados o corchetes 3. { } paréntesis de llave

A continuación se presentan algunos ejemplos para mostrar las prioridades antes mencionadas, donde se justifica en la columna de la izquierda el proceso utilizado:

a)

3 3

5 + 3 23 ÷ 6 19=

Resuelvo potencias y raíces……………….. 3 15 + 3 8 ÷ 6 1 3 = Resuelvo multiplicaciones.……………………. 3 15 + 24 ÷ 6 1 3 = Resuelvo divisiones …………………………... 3 15 + 4 1 3 = Convierto las restas.…………………………….. 3 + 15 + 4 1 3 = Reduzco ………………………………………………..19 - 7= 12

b)

5

(2

3 2)

2

[3 (2
6)
2

3 4 )]=

Resuelvo multiplicaciones………………………… 5

(2

Resuelvo las restas……………………………………5

[3 (6 4)]= ( 4)2 (3 2)=

Potencias y paréntesis…………………………………… 5 16 1 = Reduzco……………………………………………………….. 22

Recordemos algunas propiedades importantes de los números reales:

EXPRESIONES FRACCIONARIAS

Razones y proporciones
Razones

Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades de la misma naturaleza. Decir que un estudiante puede leer 400 palabras porminuto tiene poco significado; pero cuando esta relación se le compara con las 250 palabras por minuto que lee un lector medio, se puede ver que el estudiante lee considerablemente más rápido que el lector común. Para determinar, cuánto más rápido lee uno respecto al otro, efectuamos una división entre las dos cantidades por medio de una fracción:
400 8 = 250 5

Una razón es una comparación por...