Matematicas

TEORIA DE CONJUNTOS

Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo.

Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis. La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos.

Porejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera.

En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciablesentre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
 
Ejemplos de conjuntos:

* Ø: el conjunto vacío, que carece de elementos.
* N: el conjunto de los números naturales.
* Z: el conjunto de los números enteros.
* Q : elconjunto de los números racionales.
* R: el conjunto de los números reales.
* C: el conjunto de los números complejos.

Definición de Elementos.

Son los objetos, seres o cosas que pertenecen a un conjunto.

Los Conjuntos se denotan siempre con una letra Mayúscula y los elementos con minúscula. Ejemplo: A= {a,e,i,o,u}.

Se puede definir un conjunto:
* por extensión,enumerando todos y cada uno de sus elementos.
* por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Los conjuntos se pueden expresar por los siguientes métodos:

Método por Extensión: Se lista todos los elementos. Se separa por comas y se encierra por llaves. Se conoce también como método de enumeración y de tabulación.

Ejemplo: A= {a,e,i,o,u}

Método porComprensión: Es cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos, Es decir se encierra entre llaves una propiedad definitoria que expreseespecíficamente cuáles son los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer alconjunto. Se conoce también como método descriptivo.

Ejemplo: {x | x es una vocal}

Los Conjuntos se pueden Representar por:

•Extensión•Comprensión
•Diagramas de Venn

Por comprensión | Por extensión |
A = {Números dígitos} | A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} |
B = {Números pares] | B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} |
C = {Múltiplos de 5} | C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...} |

Clasificación en base a la cantidad de Elementos.

Conjunto Finito: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentrandeterminados por su longitud o cantidad.

Ejemplo: El conjunto de los números naturales menores que 6 puede ser escrito A={0,1,2,3,4,5}.

Conjunto Infinito: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. Es decir, no es posible listar todos sus elementos. Ejemplo: el conjunto de todos los números naturales, que se vería de esta manera N = {0, 1, 2, 3,…,n}

Clasificación por Tipo deConjunto.

Conjunto Vacío: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por Ø ó { } Ejemplo: A = {x2 + 1= 0 | x∈ R}, El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0.

Conjunto Universal: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado porU.

Conjunto No Vacío: Es aquel que posee elementos.

Clasificación por Relaciones entre Conjuntos.

Igualdad de Conjuntos: Son aquellos conjuntos que poseen exactamente los mismos elementos.

Ejemplo: tenemos A = {1, 2, 3} y B = {2, 1, 3}, se dice que A es igual B (A= B), ya que posee los mismos elementos.

Subconjunto: Es aquel conjunto R en el cual todos sus elementos pertenecen...