Matematicas
Páginas: 7 (1510 palabras)
Publicado: 5 de abril de 2012
Combinatoria o reglas de conteo
En ocasiones no es sencillo el contar el número de casos favorables o el número de casos posibles. La ciencia que estudia las reglas de conteo se denomina Combinatoria. 1. Variaciones sin repetición: ¿Cuántas palabras pueden formarse escogiendo 3 letras de las que forman la palabra CARLOS? Para resolver este problema podemos simplificarlo, estudiando primerocuántas palabras de una letra se pueden formar: C,A,R,L,O,S (6), cuántas de dos letras, etc... hasta obtener una formula general. Nos pueden ser de ayuda los diagramas en forma de árbol 1a letra % → ... → ... 2a letra A → ... R C 32 letra R
C A
Así se obtiene que con sólo una letra tenemos 6 palabras distintas, con dos, 6 · 5 = 30 palabras distintas y con tres, 6 · 5 · 4 = 120, etc... ya que unavez colocada la primera letra sólo tenemos cinco opciones para la segunda y colocadas las dos primeras letras, sólo tenemos cuatro opciones para la tercera. Intente obtener el número de palabras de longitud m que pueden formarse con n letras (símbolos) diferentes. La solución es m − n´meros u {z } Vn,m = n(n − 1) | ... = n(n − 1)...(n − m + 1)
donde la letra V proviene de Variaciones, que es elnombre que reciben estas formaciones caracterizadas por el hecho de que en ellas influye el orden en que se coloquen los símbolos, de forma que la palabra CAR es diferente de la palabra CRA. 2. Permutaciones sin repetición: Un caso particular de variaciones son aquellas en las que intervienen todos los símbolos (n = m), denominadas Permutaciones, cuyo número será Pn = Vn,n = n(n − 1)...1 = n! donden!, se lee como ene factorial y es simplemente una forma de representar la multiplicación n(n − 1)...1. Con esta notación se tiene Vn,m = n!/(n − m)!. Veamos un ejemplo, ¿Cuántas palabras pueden formarse permutando (cambiando) las letras de la palabra CARLOS? La solución es: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 3. Combinaciones sin repetición: Existen otro tipo de problemas donde el orden no tieneimportancia, por ejemplo si tenemos que escoger a dos ingenieros para trabajar en nuestra empresa de entre siete candidatos, ¿cuántas opciones diferentes tenemos? Este problema consiste en elegir un subconjunto de dos personas de un conjunto formado por los siete candidatos: 1
abcd efg
→
bg
De nuevo para resolver el problema, estudiaremos primero otros más simples. Primero supongamos quetenemos un conjunto con un sólo elemento {a}, que tendrá 1 subconjunto con cero elementos (el vacio ∅) y otro con un elemento {a}. Si el conjunto tiene dos elementos {a,b}, tendrá 1 con cero elementos, 2 ({a} y {b}) con un elemento, y 1 ({a,b}) con dos elementos. Para {a,b,c} se obtienen 1,3,3,1, para {a,b,c,d}, 1,4,6,4,1, etc... Estos números pueden escribirse de la forma siguiente: 1 1 1 1 1 5 4 103 6 10 2 3 4 5 1 1 1 1 1
Obsérvese que los números de una fila se obtienen sumando los situados justamente encima de él. 1 1 . & 4 . 3
Estos números reciben el nombre de números combinatorios y esta forma de presentarlos es conocida como el triángulo de Pascal o de Tartaglia. Puede comprobarse que el ³ ´ n número que aparece en la fila n en la posición m + 1, que representaremos mediante m (nsobre m), verifica à ! n n! = m m!(n − m)!
4! Por ejemplo, 4 = 2!2! = 6. Por convenio, se define 0!=1 para que 2 decir, el triángulo de Pascal estaría formado por
³ ´
³ ´
4 0
=
4! 4!0!
= 1. Es
³ ´
4 0
³ ´
3 0
³ ´
4 1
³ ´
2 0
³ ´
3 1
³ ´
1 0
³ ´
2 1 4 2
³ ´
1 1 3 2
³ ´
³ ´
³ ´
2 2 4 3
³ ´
³ ´
3 3
³ ´
4 4
Con la notaciónintroducida se tendría que el número de combinaciones de n elementos tomados de m en m es Cn,m n n! Vn,m = = = m m!(n − m)! m!
à !
fórmula que puede deducirse teniendo en cuenta que de cada combinación {1,...,m} se obtienen m! variaciones permutando los símbolos entre sí (123...m, 213...m, etc...). 2
Los números combinatorios aparecen al calcular las diferentes potencias de un binomio, (a + b)1...
En ocasiones no es sencillo el contar el número de casos favorables o el número de casos posibles. La ciencia que estudia las reglas de conteo se denomina Combinatoria. 1. Variaciones sin repetición: ¿Cuántas palabras pueden formarse escogiendo 3 letras de las que forman la palabra CARLOS? Para resolver este problema podemos simplificarlo, estudiando primerocuántas palabras de una letra se pueden formar: C,A,R,L,O,S (6), cuántas de dos letras, etc... hasta obtener una formula general. Nos pueden ser de ayuda los diagramas en forma de árbol 1a letra % → ... → ... 2a letra A → ... R C 32 letra R
C A
Así se obtiene que con sólo una letra tenemos 6 palabras distintas, con dos, 6 · 5 = 30 palabras distintas y con tres, 6 · 5 · 4 = 120, etc... ya que unavez colocada la primera letra sólo tenemos cinco opciones para la segunda y colocadas las dos primeras letras, sólo tenemos cuatro opciones para la tercera. Intente obtener el número de palabras de longitud m que pueden formarse con n letras (símbolos) diferentes. La solución es m − n´meros u {z } Vn,m = n(n − 1) | ... = n(n − 1)...(n − m + 1)
donde la letra V proviene de Variaciones, que es elnombre que reciben estas formaciones caracterizadas por el hecho de que en ellas influye el orden en que se coloquen los símbolos, de forma que la palabra CAR es diferente de la palabra CRA. 2. Permutaciones sin repetición: Un caso particular de variaciones son aquellas en las que intervienen todos los símbolos (n = m), denominadas Permutaciones, cuyo número será Pn = Vn,n = n(n − 1)...1 = n! donden!, se lee como ene factorial y es simplemente una forma de representar la multiplicación n(n − 1)...1. Con esta notación se tiene Vn,m = n!/(n − m)!. Veamos un ejemplo, ¿Cuántas palabras pueden formarse permutando (cambiando) las letras de la palabra CARLOS? La solución es: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 3. Combinaciones sin repetición: Existen otro tipo de problemas donde el orden no tieneimportancia, por ejemplo si tenemos que escoger a dos ingenieros para trabajar en nuestra empresa de entre siete candidatos, ¿cuántas opciones diferentes tenemos? Este problema consiste en elegir un subconjunto de dos personas de un conjunto formado por los siete candidatos: 1
abcd efg
→
bg
De nuevo para resolver el problema, estudiaremos primero otros más simples. Primero supongamos quetenemos un conjunto con un sólo elemento {a}, que tendrá 1 subconjunto con cero elementos (el vacio ∅) y otro con un elemento {a}. Si el conjunto tiene dos elementos {a,b}, tendrá 1 con cero elementos, 2 ({a} y {b}) con un elemento, y 1 ({a,b}) con dos elementos. Para {a,b,c} se obtienen 1,3,3,1, para {a,b,c,d}, 1,4,6,4,1, etc... Estos números pueden escribirse de la forma siguiente: 1 1 1 1 1 5 4 103 6 10 2 3 4 5 1 1 1 1 1
Obsérvese que los números de una fila se obtienen sumando los situados justamente encima de él. 1 1 . & 4 . 3
Estos números reciben el nombre de números combinatorios y esta forma de presentarlos es conocida como el triángulo de Pascal o de Tartaglia. Puede comprobarse que el ³ ´ n número que aparece en la fila n en la posición m + 1, que representaremos mediante m (nsobre m), verifica à ! n n! = m m!(n − m)!
4! Por ejemplo, 4 = 2!2! = 6. Por convenio, se define 0!=1 para que 2 decir, el triángulo de Pascal estaría formado por
³ ´
³ ´
4 0
=
4! 4!0!
= 1. Es
³ ´
4 0
³ ´
3 0
³ ´
4 1
³ ´
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³ ´
3 1
³ ´
1 0
³ ´
2 1 4 2
³ ´
1 1 3 2
³ ´
³ ´
³ ´
2 2 4 3
³ ´
³ ´
3 3
³ ´
4 4
Con la notaciónintroducida se tendría que el número de combinaciones de n elementos tomados de m en m es Cn,m n n! Vn,m = = = m m!(n − m)! m!
à !
fórmula que puede deducirse teniendo en cuenta que de cada combinación {1,...,m} se obtienen m! variaciones permutando los símbolos entre sí (123...m, 213...m, etc...). 2
Los números combinatorios aparecen al calcular las diferentes potencias de un binomio, (a + b)1...
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