Matematicas

Universidad San José.
Sección de Secundaria.

Curso:
Calculo diferencial

Profesor:
Blanca Rosa Alvarado Meléndez

Trabajo:
Resumen del curso

Responsable:
Álvaro Francisco Segura Navarro.

18 de mayo del 2011

Límites y continuidad
Concepto de límite:
Hay funciones que presentan algunas particularidades en el momento de ser evaluadas por ejemplo:

Que al evaluarseen x=0 se indefine al obtener como resultado la expresión

Con el fin de poder dar un significado a expresiones de este tipo es que surge el concepto de límite de una función.
La idea de asignar valores a estas formas indeterminadas es aproximarnos al valor de x por la izquierda y por la derecha, en los casos en que no existe ambigüedad para precisare el comportamiento de la función diremosque el límite existe, por el contrario si hay ambigüedad diremos que el límite no existe.
Ejemplo
x | f(x) |
0 | 2 |
-2 | 0 |
Cuando

En este caso es posible asignar el valor de 4 a la función debido a que el comportamiento de la función cuando nos aproximamos a x=2 por la izquierda y por la derecha no presenta ambigüedad

Definición formal de limite: decimos que
Además decimosque cuando x tiende a “a” si para cada existe un que cumple la proposición: si cada vez que entonces .
Gráficamente:

Ejemplo:
Demostrar
Sea arbitrario pero fijo

Observe q si suponemos que entonces se cumple que
Quiere decir que debemos tomar
Tal que

Propiedades de los límites:
॑ Límite de una Suma
Teorema: Dadas dos funciones y cuyos límites cuando tiende a “” son Ly M, respectivamente, entonces el límite de cuando tiende a es igual a L+M.
Simbólicamente escribimos: si
॑ Límite de una constante por una función
Teorema: Si y es un numero real, entonces

Este límite nos dice que el límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función.

॑Limite de un Producto
Teorema: Dadas dos funciones y cuyoslímites cuando tiende a “” son L y M, respectivamente, entonces:


॑Limite del cociente
Teorema: Si y , con entonces podemos decir:

॑Teorema (del emparedado): Dadas las funciones y , si en un intervalo alrededor de y entonces
Gráficamente podemos representar el teorema del emparedado con la siguiente figura.

Teorema:
Ejemplos:
1) Calcular

2) Calcular

Definición: Decimosque el límite de es cuando tiende a , si para cualquier , existe un , tal que si .
Teorema: Dados los polinomios entonces:
i. Si
ii. Si Sera si tienen el mismo signo y será sitienen signo contrario.
iii. Si
Ejemplos:
Calcular
=
=

Calcular

Calcular

Derivadas
Definición: dada una función f al límite le llamamos derivada de la función en y denotamosEjemplo encontrar la derivada de

=

Entonces la derivada de es
Teorema: si es una función derivable en entonces la función donde es una constante, es derivable y

Teorema: la derivada de una suma de funciones es igual a l suma de las derivadas

Teorema: si las funciones y son derivables, entonces la función es derivable y

Ejemplo: Derivar la función
Solución

Teorema:si es derivable y entonces la función es derivable y
=
Teorema: si las funciones y son derivables y entonces la función es derivable y

Algunos teoremas con trigonometría
1) Si entonces
2) Si entonces
3) Si entonces
4) Si entonces
5) Si entonces
6) Si entonces

Teorema: La derivada de la función , donde es un entero positivo, es igual a
=Ejemplo: Calcular la derivada de la función

La regla de la cadena:
Teorema: si las función es derivable en y es derivable en , entonces la función es derivable en y
Ejemplo: derivar la función
En este caso y la función , la función es la que deseamos derivar:
Ahora bien la derivada de es y la de es
Para obtener el resultado aplicamos al polinomio la derivada de la función y...