Matematicas
Páginas: 15 (3529 palabras)
Publicado: 16 de abril de 2012
ePotencias y radicales
Antes de empezar
Propiedades de las potencias de exponente entero
x2·x7 = x2 +7 = x9
Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado en cursos anteriores El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes.
an·am = an+m
8
2 = 28 −5 = 23 25
El cociente de potencias dela misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes.
an = an−m m a
(x )
7
3
= x7·3 = x21
La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de exponente el producto de los exponentes.
(a )
n
m
= an·m
70 = 1
Una potencia de exponente cero es igual a ls unidad.
a0 = 1
25·35 = (2·3) = 65
5
El producto de potenciasdel mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el producto de las bases.
an·bn = ( a·b )
n
86 ⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ = 26 46 ⎝ 4 ⎠
6
El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el cociente de las bases.
an ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ bn ⎝ b ⎠
n
MATEMÁTICAS B
21
Potencias y radicales
1. Radicales
Definición
Llamamos raíz n-ésima deun número dado a al número b que elevado a n nos da a.
n
3
8 = 2 por ser 23 = 8
1 3
a = b ⇔ bn = a
5 = 53
2
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando.
n
5
x2 = x 5
ap = an
p
Radicales equivalentes
Dos o más radicalesse dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fracción de lapotencia asociada es irreducible.
3
x2 = x 4
6
son equivalentes por ser:
2 4 = 3 6
6
Amplificar: Simplificar:
3
x2 = x4 =
3
3·2
x 2·2 = x 4 x 4:2 = x 2
3
6
6:2
x2
Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introducción y Extracción de factores
Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribedentro. Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
Introducir
x3 x = x 3 ·x = x 4 23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24
Extraer:
5 3
3
3
x13 = x 2 x 3
513 3
5 2
22
MATEMÁTICAS B
Potencias y radicales
1728 2 864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 1 3 3
3
Cálculo de raíces
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores. Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.
1728 = 3 26 ·33 = =22·3 = 12
Reducir a índice común
6
Reducción a índice común
Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice. El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.
2 ;
10
3
m.c.m(6,10)=30
6
2 = 3 =
30
25 = 33 =
30
32 27
10
3030
Los siguientes radicales son semejantes:
Radicales semejantes
Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4
Los siguientes radicales no son semejantes:
23 4 ; 25 4 El índice es distinto
MATEMÁTICAS B
23
Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos...
Antes de empezar
Propiedades de las potencias de exponente entero
x2·x7 = x2 +7 = x9
Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado en cursos anteriores El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes.
an·am = an+m
8
2 = 28 −5 = 23 25
El cociente de potencias dela misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes.
an = an−m m a
(x )
7
3
= x7·3 = x21
La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de exponente el producto de los exponentes.
(a )
n
m
= an·m
70 = 1
Una potencia de exponente cero es igual a ls unidad.
a0 = 1
25·35 = (2·3) = 65
5
El producto de potenciasdel mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el producto de las bases.
an·bn = ( a·b )
n
86 ⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ = 26 46 ⎝ 4 ⎠
6
El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el cociente de las bases.
an ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ bn ⎝ b ⎠
n
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Potencias y radicales
1. Radicales
Definición
Llamamos raíz n-ésima deun número dado a al número b que elevado a n nos da a.
n
3
8 = 2 por ser 23 = 8
1 3
a = b ⇔ bn = a
5 = 53
2
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando.
n
5
x2 = x 5
ap = an
p
Radicales equivalentes
Dos o más radicalesse dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fracción de lapotencia asociada es irreducible.
3
x2 = x 4
6
son equivalentes por ser:
2 4 = 3 6
6
Amplificar: Simplificar:
3
x2 = x4 =
3
3·2
x 2·2 = x 4 x 4:2 = x 2
3
6
6:2
x2
Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introducción y Extracción de factores
Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribedentro. Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
Introducir
x3 x = x 3 ·x = x 4 23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24
Extraer:
5 3
3
3
x13 = x 2 x 3
513 3
5 2
22
MATEMÁTICAS B
Potencias y radicales
1728 2 864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 1 3 3
3
Cálculo de raíces
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores. Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.
1728 = 3 26 ·33 = =22·3 = 12
Reducir a índice común
6
Reducción a índice común
Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice. El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.
2 ;
10
3
m.c.m(6,10)=30
6
2 = 3 =
30
25 = 33 =
30
32 27
10
3030
Los siguientes radicales son semejantes:
Radicales semejantes
Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4
Los siguientes radicales no son semejantes:
23 4 ; 25 4 El índice es distinto
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Potencias y radicales
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