Matematicas

Método de Newton-Raphson para raíces múltiples.
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, lacontra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.
Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado ala función f tomando como aproximación inicial x0. Observe que no requiere construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado.
Una raíz múltiple corresponde a un punto dondeuna función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de:


La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero.Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.



Raíz doble:

Raíz triple:
Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que trestérminos en una ecuación sean iguales a cero, como en:



En general:
La multiplicidad impar de raíces cruza el eje.
Mientras que la multiplicidad par no lo cruza.
Raíz Cuádruple:

Dificultades delmétodo de raíces múltiples:


1. El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados.
2. Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero enla raíz:
Esto afecta a los métodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus fórmulas respectivas.
Esto provocará una división entre cero cuando lasolución converge muy cerca de la raíz.
Pero, f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se puedenterminar antes de que f’(x) llegue a cero.
3. El método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples.
Se han propuesto...