Matematicas

N´meros Enteros
u
Teresa Krick∗

1

Hechos generales

El conjunto de los n´meros enteros es :
u
Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } = −N ∪ {0} ∪ N

(donde − N := { −n; n ∈ N }).

Una de las razones de la necesidad de trabajar con estos n´meros es que en N no se puede restar
u
(en general), y as´ Z se obtiene a partir de N agregando los n´meros negativos. Mencionemos
ıu
que en Z la operaci´n + cumple las siguientes propiedades, que le dan una estructura de Grupo
o
Conmutativo :
• Para todo a, b ∈ Z , a + b ∈ Z .
• Conmutatividad : Para todo a, b ∈ Z , a + b = b + a .
• Asociatividad : Para todo a, b, c ∈ Z , (a + b) + c = a + (b + c) (y por lo tanto, se puede
escribir a + b + c sin aclarar qu´ se suma primero).
e
• Existencia de Elemento Neutro :Existe un elemento en Z (´nico) que es el 0 , que verifica
u
que para todo a ∈ Z , a + 0 = a .
• Existencia de Opuesto : Para todo a ∈ Z , existe un (´nico) elemento, que es −a , tal que
u
a + (−a) = 0 .
La raz´n por la que se le da un nombre a los conjuntos con una operaci´n que verifica las 5
o
o
propiedades mencionadas, es que se observ´ que hay much´
o
ısimos conjuntos que, junto con unaoperaci´n, verifican esas propiedades (por ejemplo, con la suma, Q , R , C , R2 , R[X] , . . . ) y
o
entonces, a fin de estudiar las consecuencias de esas propiedades, conviene hacerlo de una vez por
todos en el caso abstracto general y luego aplicarlo en cada caso en lugar de estudiarlas para cada
conjunto en particular.
En Z tambi´n se puede multiplicar : la operaci´n · cumple propiedadesparecidas a + , aunque
e
o
no todas :
• Para todo a, b ∈ Z , a · b ∈ Z .
• Conmutatividad : Para todo a, b ∈ Z , a · b = b · a .
• Asociatividad : Para todo a, b, c ∈ Z , (a · b) · c = a · (b · c)(= a · b · c = a b c) .
• Existencia de Elemento Neutro : Existe un elemento en Z (´nico) que es el 1 , que verifica
u
que para todo a ∈ Z , 1 · a = a .
∗ Notas

correspondientes a la parte de“Enteros” de la materia Algebra 1 de la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales, Universidad de Buenos Aires, con el apoyo de los subsidios UBACyT X-198 y CONICET 2461/01.

1

• No hay Existencia de Inverso multiplicativo : Los unicos elementos inversibles a de Z para
´
el producto, o sea que verifican que existe a−1 ∈ Z de manera que a · a−1 = 1 son el 1 y el
−1 .
La propiedad siguienterelaciona el producto con la suma:
• Distributividad del producto sobre la suma : Para todo a, b, c ∈ Z , a · (b + c) = a · b + a · c .
Estas propiedades de la suma y el producto en Z hacen que Z tenga una estructura de Anillo
Conmutativo (estructura que conviene estudiar en general por las mismas razones que conviene
estudiar la de Grupo).
Recordemos otras propiedades que ya conocemos de Z otambi´n de subconjuntos de Z :
e
• Z es un conjunto inductivo, que contiene estrictamente a N y para el cual no vale as´ nom´s
ı
a
el principio de inducci´n ya que no tiene primer elemento por el cual empezar la inducci´n.
o
o
• Si fijamos n0 ∈ Z , en Zn0 := {m ∈ Z; m ≥ n0 } vale el principio de inducci´n empezando en
o
n0 . Por ejemplo en N0 := N ∪ {0} vale el principio de inducci´n.
o
•Equivalentemente, Zn0 y N0 son conjuntos bien ordenados, o sea, cualquier subconjunto no
vac´ de Zn0 o N0 tiene primer elemento o m´
ıo
ınimo (un elemento en el subconjunto menor
o igual que todos los dem´s).
a

2

Divisibilidad

El hecho que los n´meros enteros no son divisibles (con cociente entero) por cualquier otro n´mero
u
u
entero hace interesante estudiar la noci´n yconsecuencias de la divisibilidad. (Este estudio no se
o
justifica por ejemplo de la misma manera en Q o R donde todo n´mero racional o real es divisible
u
(con cociente racional o real) por cualquier otro n´mero racional o real no nulo.)
u
Definici´n 2.1
o
(Divisibilidad)
Sean a, d ∈ Z con d = 0 . Se dice que d divide a a (o que a es divisible por d , o que a es
m´ltiplo de d ) si existe un...