Matematicas

II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas se utilizan fundamentalmente en la solución de triángulos rectángulos, recordando que todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de 900 y sus ángulos interiores suman 1800 . La notación que se acostumbra es la siguiente.

α + β + 90 0 = 180 0

Tomamos el ángulo α para definir las razones trigonométricas dela siguiente manera:

senα =

cateto opuesto a = hipotenusa c cateto adyacente b = hipotenusa c

csc α =

hipotenusa c = cateto opuesto a hipotenusa c = cateto adyacente b

cos α =

sec α =

tan α =

cateto opuesto a = cateto adyacente b

cot α =

cateto adyacente b = cateto opuesto a

Nota: Véase que las razones cot α , sec α , csc α son recíprocas de la tan α , cos α ,senα respectivamente.

2.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo implica obtener la medida de todos sus ángulos y de todas las longitudes de sus lados. En donde se utilizan las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras fundamentalmente, el cuál se enuncia así: “en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados desus catetos”.

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c 2 = a 2 + b 2 … (I )
c = a2 + b2

b = c2 − a2 a = c2 − b2

EJEMPLOS Determinar los lados y ángulos faltantes en cada caso. 1) Resolver el siguiente triángulo cuando los catetos miden 3 y 4 unidades.

Para obtener la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras

c = 32 + 4 2 c = 9 + 16 = 25 c=5
Para calcular los ángulos α y β , podemos hacerlo de la siguientemanera:

3 4 −1 α = tan 0.75 α = 36.87 0 y como α + β + 90 0 = 180 0 despejando β = 180 0 − 90 0 − 36.87 0 β = 53.13 0 por lo tanto α = 36.87 0 ; β = 53.13 0 ; c = 5 tan α =

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2) Calcular β , α , a

Para obtener β : 4 senβ = 9 4 β = sen −1 9 0 β = 26.38

a = c 2 − b2 = 92 − 42
a = 81 − 16
a = 8.06

dado que α + β + 90 0 = 180 0 despejando α = 180 0 − 26.38 0 − 90 0

α = 63.62 03) Calcular a,b, α

α = 180 0 − 90 0 − 38 0 = 52 0
Para calcular “a”:

Para calcular “b”:

cos α =

b c

a 20 a = 20sen52 0 a = 15.76 sen52 0 =

b 20 b = 20 cos 52 0 b = 12.31 cos 52 0 =

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4) La torre Eiffel en su base cuadrangular mide 50 metros de lado, ¿cuál es su altura si una persona que mide 1.8 m. de estatura, al mirar la punta mide un ángulo de elevación de 85.4 0 ?Solución

h 25 0 25 tan 85.4 = h h ≅ 310.72 [m] Altura de la torre = 310.72 + 1.8 = 312.52 [m ]
Si tan 85.4 0 = 5) ¿Cuál es el área de un canal trapecial con la geometría que se muestra en la figura?

Solución Determinando cuánto mide la altura “h”, el problema se resuelve. Dado que el canal es una figura regular se tiene que:

tan 60 0 =

h ; 4 tan 60 0 = h 4

 3  4  1  = h ; h ≅6.93 [m]  

El área de un trapecio es “base mayor más base menor entre dos y multiplicado esto por la altura”, es decir B+b h = Área 2
Área = 12 + 4 (6.93) = 55.44 m 2 2

[ ]

EJERCICIOS Resuelva los siguientes triángulos rectángulos: 1) Si b = 2.5 y α = 39 0 , encuentre a, c, β 2) Si a = 4 y b = 5 , obtenga c, α , β
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3) Un globo aerostático se eleva verticalmente desde el punto P(en el suelo), su ángulo de elevación desde el punto Q (en el suelo también) situado a 250 m del punto P, cambia de 23 0 a 35 0 . Determine que tanto se eleva el globo durante este cambio. 4) El piloto de un avión de Mexicana debe aproximarse a la pista de aterrizaje en el D.F. en un ángulo de 7 0 con respecto a la horizontal. Si vuela a una altitud de 9000m. ¿A qué distancia de la pista debeiniciar su descenso? 5) En la siguiente figura se muestra un diseño de un tobogán, se pide calcular la longitud total del tobogán

2.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CUALQUIER CUADRANTE
Un círculo con centro en el origen de coordenadas y de radio la unidad es llamado círculo unitario. Sí sobre este círculo tomamos un punto P ( x, y ) , el radio OP genera un ángulo positivo de magnitud “ t ”...