Matematicas

Calculo
1.1. Limites
Formas indeterminadas
Las siguientes expresiones:
ª−ª;
ª
ª;ª 0;
0
0
;ª0; 1ª; 00
se les denomina indeterminaciones. De aca no hay escape, debemos siempre buscar evitar llegar a estas expresiones
por alguna pillera algebraica, acotar por desigualdades o a traves de tecnicas mas poderosas, como la Ley de
L'Hopital.
Especcamente, en el caso de laindeterminacion ª
ª:
Si p(x) y g(x) son polinomios con grados gra(p) y gra(q), respectivamente, entonces:
lm
xª
p(x)
q(x)
=
¢¨¨¨¦¨¨¨¤
±ª si gra(p) > gra(q), signo depende de los coecientes del termino de mayor grado
0 gra(p) < gra(q)
a
b gra(p) = gra(q), a y b coecientes de terminos de mayor grado en p y q respectivamente
Por ejemplo:
lm
xª
7x4 − 2x º
5x8 − 3x2
El grado delnumerador es 4, y el grado del denominador es 8
1
2 = 4. Como tienen igual grado, el resultado del lmite
es el cuociente de los coecientes º7
5
.
Teorema del acotamiento
Veamos que sucede con el lmite lm
x0
x cos( 1
x2 ).
Si evaluamos obtenemos una de las formas indeterminadas, i.e, 0 ª. Existe un poderoso resultado para evitar este
tipo de indeterminacion, se conoce coloquialmentecon el nombre de cero aniquila, pero su verdadero nombre es el
Teorema del Acotamiento. Veamos el mismo lmite nuevamente:
lm
x0
x cos ‹ 1
x2  = 0 cos(ª)
El coseno de una cantidad que crece innitamente no esta determinado, por lo que no existe forma de saber como
luce. Lo que s sabemos es que el coseno es una funcion acotada, esto es, la totalidad de sus valores estan encerradosen un intervalo nito. El valor mas bajo es -1 y el mas alto es 1, por lo tanto sea cual sea el argumento del coseno,
1
sabemos que este tiene un valor dentro del intervalo [−1; 1]. Luego el resultado de multiplicar por 0 por algun valor
acotado, es 0. De ah el aniquilamiento:
lm
x0
x cos ‹ 1
x2  = 0
En resumen, si en un lmite tenemos una expresion acotada multiplicada por unaexpresion que tiende a 0, el lmite
vale 0 gracias al Teorema del Acotamiento.
Lmites notables y estrategias
ˆ Limite del seno cuando su argumento tiende a 0
Es conocido este resultado
lm
arg0
sin arg
arg
= 1
Menos conocido es
lm
arg0
arg
sin arg
= 1
Ojo: No todo lmite de una funcion es igual al lmite del recproco de la funcion. Solo algunos lmites tienen
estapropiedad, este por ejemplo.
ˆ Limite Exponenciales
Generalmente este tipo de lmites son los que mas dicultad presentan. La forma de un lmite exponencial es
la siguiente:
lm
xa
(f(x))g(x)
Existen algunos criterios para determinar estos lmites:
X Si la base por separado tiende a un numero cualquiera distinto de 0, y el exponente por separado tiende a
otro numero.
lm
x1
(x+ 1)2x−3 = 2−1
X Si la base por separado tiende a un positivo mayor que 1 y el exponente por separado tiende a +ª, entonces
el lmite tiende a +ª:
lm
xª
‹2x + 1
1 + x

2x−3
= 2ª = +ª
X La base por separado tiende a un numero entre -1 y 1, distinto de 0, y el exponente por separado tiende a
+ª, entonces el lmite tiene valor 0:
lm
xª
‹ 1 + x
2x + 1

2x−3
= ‹1
2

ª
=0
X La base por separado tiende a un numero negativo menor o igual que -1, y el exponente por separado tiende
a +ª. En este caso el lmite NO existe, porque los productos van cambiando de signo innitamente.
lm
xª
‹
−3x + 1
1 + x

2x−3
= (−3)ª =~§
X Finalmente, si la base por separado tiende a 1, y el exponente a +ª tenemos la indeterminacion 1ª. Hay
que manipular la expresionhasta llevarla a
lm
xª
‹1 + 1
n

n
= lm
x0
(1 + n) 1
n = e
2
ˆ Multiplicar por 1
Esta estrategia es muy utilizada cuando tenemos races que nos imposibilitan seguir reduciendo una expresion.
Se multiplica por el conjugado. Por ejemplo:
lm
x−3
º
x + 4 − 1
x2 + 2x − 3
Indeterminacion 0
0 . Multiplicando por 1:
lm
x−3
º
x + 4 − 1
x2 + 2x − 3

º
x + 4 + 1 º
x...