matematicas

Sergio Yansen Núñez
Integrales de Superficies para Campos Vectoriales
Actividad 1
∧

∫∫ F ⋅ n dS

Calcule

donde f ( x, y, z ) = ( x + z 2 )i − ( z + 3)k

y S la superficie del

S

∧paraboloide 2 z = x 2 + y 2 limitada por z = 2 ( n es la normal unitaria hacia arriba en
S ).
Actividad 2

Calcule el flujo del campo vectorial F = ( x 2 y , 2 xz , yz 3 ) a través de lasuperficie del
sólido rectangular S que corresponde a un paralelepípedo dado por:
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3.

Actividad 3

Sea

S la superficie que encierra a la región limitada por z = 9 − x2 − y 2

z = 1 + x + y . Calcule, directamente como integral de superficie,
2

2

∫∫ F ⋅ d S

y

donde

S

F ( x, y , z ) = ( x, y , z ) .

Actividad 4

Plantee la(s) integral (es)dobles que permita(n) calcular la integral de superficie

∫∫ F
S

donde F es el campo vectorial definido por F ( x, y , z ) = ( x − y , x + z , y + z ) y S es la
superficie que encierra a laregión limitada por el plano z = 0 y z = 2 − x 2 − y 2 .

Actividad 5
∧

∧

∧

Calcule el flujo del campo vectorial F ( x, y ) = xy 2 i + x 2 y j + xy k a través de la
superficie lateral S queresulta de cortar el paraboloide z = 2 − x 2 − y 2 por los planos
z = 0 y z = 1.

Sergio Yansen Núñez
Resolución
Actividad 1

∧

∫∫ F ⋅ n dS = ∫∫ F ( x, y, z ( x, y )) ⋅ ndxdy
S

Ddonde n = (− x , − y ,1) y D = {( x, y ) ∈ IR 2 / x 2 + y 2 ≤ 4}

 x2 + y2
F ⋅ n dS = ∫∫  x + 
∫∫
 2


S
D 
∧

2


 x2 + y2
 , 0 , −

 2




 x2 + y2
= ∫∫  x + 
 2


D 







2

 
 − 3  • (− x , − y ,1)dxdy
 
 

2
2

( − x ) −  x + y

 2




 
 − 3 dxdy
 
 

2π 2


r5 r2
= − ∫ ∫ r 2 cos 2 θ + cos θ
+
+ 3 rdrdθ = −20π


4
2

0 0

Sergio Yansen Núñez
Actividad 2

Los cálculos serán resumidos en la siguiente tabla:
Cara

n

F ⋅n

∫∫ F ⋅ ndS

cara...