Matematicas

UNIDAD 11

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente:

f decrece f' < 0

f crece f' > 0

f decrece f' < 0

f crece f' > 0

f decrece f' < 0

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:

D A B f convexa f cóncava C

E F

G

f 'decreciente

f ' creciente

f '' < 0

f '' > 0

CD → f convexa → f ' decreciente → f" < 0 DE → f cóncava → f ' creciente → f" > 0 EF → f convexa → f ' decreciente → f" < 0 FG → f cóncava → f ' creciente → f" > 0
Unidad 11. Aplicaciones de las derivadas

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Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: • La función está definida en [0, 7]. • Solo toma valores positivos. • Pasapor los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1). • En el intervalo (1, 2), la función es convexa. • En el intervalo (2, 4), f '' > 0. • En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente. • En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

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1. Halla las rectas tangentes a la curva:
3 2 y = 5x + 7x – 16x x–2

en los puntos de abscisas 0, 1, 3. Calculamos la derivada de la función:
2 3 2 32 y' = (15x + 14x – 16)(x – 2) – (5x + 7x – 16x) = 10x – 23x – 28x + 32 2 (x – 2) (x – 2)2

Ordenadas de los puntos: y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150 • Recta tangente en (0, 0): y ' (0) = 8 y = 8x • Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = –9 y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13 • Recta tangente en (3, 150): y ' (3) = 11 y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117
Unidad 11. Aplicaciones de las derivadas

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2. Hallalas rectas tangentes a la circunferencia: x 2 + y 2 – 2x + 4y – 24 = 0 en los puntos de abscisa x0 = 3. Obtención de las ordenadas correspondientes: 32 + y 2 – 2 · 3 + 4y – 24 = 0 9 + y 2 – 6 + 4y – 24 = 0 y 2 + 4y – 21 = 0 y= –4 ± √ 16 + 84 –4 ± √ 100 –4 ± 10 = = 2 2 2 y = 3 → Punto (3, 3) y = –7 → Punto (3, –7)

Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente: 2x + 2y y' – 2 +4y' = 0 y' (2y + 4) = 2 – 2x y' = 2 – 2x 1–x = 2y + 4 y+2 2 2 ; y' (3, –7) = 5 5 2 2 21 (x – 3) = – x + 5 5 5 2 2 41 (x – 3) = x – 5 5 5

Así: y' (3, 3) = –

• Recta tangente en (3, 3): y = 3 –

• Recta tangente en (3, –7): y = –7 +

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1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece.

y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1) a) x < –1 →y' > 0 → f es creciente en (–∞, –1) x > 3 → y' > 0 → f es creciente en (3, +∞) b) –1 < x < 3 → y' < 0 → f es decreciente en (–1, 3)

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2. Comprueba que la función y = x 3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares, en x = 0 y en x = 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada.
Unidad 11. Aplicaciones de las derivadas

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2 2 3 2 y' = 3x (x – 2) – 2(x –2)x = x (x – 2) (3(x – 2) – 2x) = (x – 2)4 (x – 2)4 2 2 = x (3x – 6 – 2x) = x (x – 6) 3 (x – 2) (x – 2)3

y' = 0 → x 2 (x – 6) = 0

x=0 x=6

f ' (– 0,01) > 0   En x = 0 hay un punto de inflexión. f ' (0,01) > 0  f ' (5,99) < 0   En x = 6 hay un mínimo relativo f ' (6,01) > 0  3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y = –3x 4 + 4x 3. Mediante unarepresentación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9. a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2 (–x + 1) y' = 0 x=0 x=1 → → Punto (0, 0)   Dos puntos singulares. Punto (1, 1) 
1 1

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5], donde la función es derivable. Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7. • En (0, 0) hay un punto de inflexión. • En (1, 1) hay unmáximo relativo. b) y' = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3) x = –1 x = –2 x = –3 → → →

y' = 0

Punto (–1, 0)   Punto (–2, 1)  Tres puntos singulares.  Punto (–3, 0) 
9

Los tres puntos están en el mismo intervalo [–4, 0], donde la función es derivable. Además, f (–4) = f (0) = 9. • Hay un mínimo relativo en (–3, 0), un máximo relativo en (–2, 1) y un mínimo relativo en (–1, 0)....