matematicas
Páginas: 10 (2414 palabras)
Publicado: 9 de noviembre de 2013
Uso de ecuaciones
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera unamasa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
Ejemplos:
Ecuación de estado
Ecuaciones de movimiento
Ecuación constitutiva
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Tipos deecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
Ecuaciones algebraicas
Polinómicas o polinomiales
De primer grado o lineales
De segundo grado o cuadráticas
Diofánticas o diofantinasRacionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
Ecuaciones diferenciales
Ordinarias
En derivadas parciales
Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales
Definición general
Dadauna aplicación f:A \rightarrow B y un elemento b del conjunto B, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos x \in A que verifican la expresión: \displaystyle f(x) = b . Al elemento \textstyle x se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento \textstyle a \in A que verifique \textstyle f(a)=b .[cita requerida]
El estudio de las ecuaciones depende delas características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto \textstyle A son funciones y la aplicación \textstyle f debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que se ha dado incluye las ecuaciones de la forma \textstyle g(x)=h(x) ,pues, si \textstyle B es un grupo basta con definir la aplicación \textstyle f(x)=g(x)-h(x) y la ecuación se transforma en \textstyle f(x)=0 .
Conjunto de soluciones
Dada la ecuación \displaystyle f(x) = b , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por \textstyle S = f^{-1} (b) , donde \textstyle f^{-1} es la imagen inversa de \textstyle f . Si \textstyle S es el conjunto vacío, laecuación no es soluble; si tiene sólo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y si \textstyle S posee más de un elemento, todos ellos serán soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga laexistencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso \textstyle A \subseteq \mathbb{Z} . Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en laecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando \textstyle A es un cuerpo y f un polinomio, se tiene ecuación algebraica polinómica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto \textstyle A es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.
Existencia de soluciones
En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de...
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera unamasa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
Ejemplos:
Ecuación de estado
Ecuaciones de movimiento
Ecuación constitutiva
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Tipos deecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
Ecuaciones algebraicas
Polinómicas o polinomiales
De primer grado o lineales
De segundo grado o cuadráticas
Diofánticas o diofantinasRacionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
Ecuaciones diferenciales
Ordinarias
En derivadas parciales
Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales
Definición general
Dadauna aplicación f:A \rightarrow B y un elemento b del conjunto B, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos x \in A que verifican la expresión: \displaystyle f(x) = b . Al elemento \textstyle x se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento \textstyle a \in A que verifique \textstyle f(a)=b .[cita requerida]
El estudio de las ecuaciones depende delas características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto \textstyle A son funciones y la aplicación \textstyle f debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que se ha dado incluye las ecuaciones de la forma \textstyle g(x)=h(x) ,pues, si \textstyle B es un grupo basta con definir la aplicación \textstyle f(x)=g(x)-h(x) y la ecuación se transforma en \textstyle f(x)=0 .
Conjunto de soluciones
Dada la ecuación \displaystyle f(x) = b , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por \textstyle S = f^{-1} (b) , donde \textstyle f^{-1} es la imagen inversa de \textstyle f . Si \textstyle S es el conjunto vacío, laecuación no es soluble; si tiene sólo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y si \textstyle S posee más de un elemento, todos ellos serán soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga laexistencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso \textstyle A \subseteq \mathbb{Z} . Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en laecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando \textstyle A es un cuerpo y f un polinomio, se tiene ecuación algebraica polinómica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto \textstyle A es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.
Existencia de soluciones
En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de...
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