Matematicas

ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES
Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene alguna letra llamada incógnita.

La solución de la ecuación es el valor o valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no existe.

TIPOS DE ECUACIONES
Existendiversos tipos de ecuaciones:
Polinómicas: En Ellas, la incógnita aparece solamente en expresiones
Polinómicas.
Con radicales: La incógnita dentro de una raíz.
Con la x en el denominador:
Con la x en el exponente
Otros tipos: logarítmicas, trigonométricas,

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DEFINICIÓN
Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo a 0. Tiene una única solución: x = - b/a

Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones:
 3x – 5 = 3(x + 1)  0x = 8  No tiene solución.
 3x – 5 = 3(x – 2) + 1  0x = 0  Tiene infinitas soluciones
Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes desimplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones.

ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución o ambas carecen de solución.

TRANSFORMACIONES QUE MANTIENEN LA EQUIVALENCIA DE
ECUACIONES.
Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos.
Cada paso consiste en transformar la ecuación en otraequivalente en la que la x esté más próxima a ser despejada:

Transformación
Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad. Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número distinto de cero.

Regla práctica
Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro. Y viceversa. Lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro pasa dividiendo a todo lodemás del otro. Y viceversa.

PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Quitar paréntesis, si los hay.
2. Quitar denominadores, si los hay.
3. Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.
4. Simplificar cada miembro.
5. Despejar la x. Se obtiene, así, la solución.
6. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar quecoinciden los resultados.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
DEFINICIÓN
Una ecuación de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a  0
Ecuaciones completas: Cuando b  0 y c  0. Y se resuelve aplicando la fórmula: x =
2a  b  b2  4ac
Ecuaciones incompletas: Si b = 0 ó c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la fórmula anterior.
Si b = 0  ax2 + c = 0  x = a   cSi c = 0  ax2 + bx = 0  x(ax + b) = 0 a ax b 0 x b x 0

NÚMERO DE SOLUCIONES
La expresión  = b2 – 4ac, se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de :
 Si  > 0  Dos soluciones  Se factoriza a.(x – x0).(x – x1)
 Si  = 0  Una solución doble  Se factoriza a.(x – x0)2
 Si  < 0  No tiene solución  No se puede factorizar

REGLAS PARARESOLVER ECUACIONES DE 2º GRADO
1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula.
2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando factor común o despejando.
3. Si tiene una fisonomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer miembro,...Sólo cuando esté simplificada, aplica unode los métodos anteriores.
4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con...