matematicas

Hipérbola: Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor queel de la generatriz respecto del eje de revolución.1
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Ecuación canónica de la hipérbola
Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida dela hipérbola situemos un sistema de coordenadas cartesianas con centro el punto medio del segmento focal FF¢ y eje de abscisas pasando por los focos. Entonces la coordenadas de los focos en estesistema de referencia son F (c, 0) y F¢ (– c, 0).
Sea P (x, y) un punto cualquiera del plano. Por definición de hipérbola, la igualdad [1] es una condición necesaria y suficiente para que elpunto P (x, y) esté situado sobre la hipérbola. La fórmula de la distancia entre dos puntos nos proporciona las longitudes de los radios vectores del punto P,

De [1] y [2] se sigue la relaciónElevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad [3], después de simplificar los términos semejantes se llega a una igualdad con un único radical. Transponiendo este radical y elevando de nuevoal cuadrado los dos miembros de la igualdad obtenida se llega a la igualdad
Como c > a, entonces c² – a² es positivo y haciendo b² = c² – a² se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro elorigen de coordenadas y focos en el eje de abscisas:
Debemos asegurarnos que la ecuación [4] deducida de [3] por transformaciones algebraicas no contiene raíces extrañas. Para ello serásuficiente demostrar que los radios vectores PF y PF¢ de todo punto P (x, y) cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] verifican la relación [1].

Despejando y² en [4] y...