matematicas

Elementos y características de los grafos
         
           Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices.

Los grafos representan conjuntos de objetosque no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.

La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo.

Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.Componentes de un grafo (vértices, aristas, lazos, valencia)


         Aristas.- Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos.
Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si coinciden en el mismo vértice
Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo
Aristas Cíclicas:Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo

Cruce: Son dos aristas que cruzan en un puntos

Vértices.- Son los puntos o nodos con los que está conformado un grafo.

Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.
Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y sitenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1

Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice


Valencia de un vértice.- Es el numero de lados que salen o entran a un vértice. En el grafo anterior lasvalencias de los vértices son:

Valencia (a)=2
Valencia (b)=4
Valencia (c)=2
Valencia (d)=3

Hay que observar como en el caso del vértice del lazo solo se considera una vez, entrada o salida pero no ambos.
Tipos de grafos (Simples, completos, bipartidos, planos, conexos, ponderados)

            Grafos simples.- Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vérticescualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Un grafo que no es simple se denomina multigrafo.

Grafo completo.- Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominadousualmente K, siendo Kn  el grafo completo de n vértices. Un Kn, es decir, grafo completo de n vértices tiene exactamente n(n-1)/2  aristas.

La representación gráfica de los  como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

Grafos bipartitos.- Un grafo G es bipartito si puede expresarse como G = {V1 U V2, A} (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices),bajo las siguientes condiciones:
V1 y V2  son disjuntos y no vacíos.
Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.
No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.
Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de losejercicios y puzzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

Grafos Planos.- Un grafo G es planar si admite una representación en el plano de  tal forma que las aristas no se cortan, salvo en sus extremos. A dicha representación se le denomina grafo plano. Se dice que un grafo es plano si puede dibujarse en el plano de manera que ningún par de sus aristas...