Matematicas

[pic] |INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS “GUILLERMO SUBERCASEAUX”
Fundado en 1929
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CONJUNTOS

El concepto de conjuntos es simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en la vida diaria, por ejemplo, una pila de platos de loza a menudo recibe el nombre de “conjunto de platos”. Los volúmenes de una enciclopedia forman un “conjunto de libros”. Una molécula de una sustanciaes cierto “conjunto de átomos”. En cada caso, el grupo o colección de platos, libros o átomos se considera como una unidad.

Los conjuntos no necesariamente están formados por objetos físicos; pueden también constar de ideas abstractas. Ejemplo de ellos son los “Diez mandamientos”, que son un conjunto de principios morales. Del mismo modo, la Constitución de un país es el conjunto básico deleyes que lo rigen.


| Algo de Historia |
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|Aunque muchas de las ideas concernientes a losconjuntos pueden remontarse a los siglos XVI y XVII, la teoría moderna de conjuntos se debe al matemático |
|alemán Georg Cantor (1845-1918), quien se interesó profundamente en aclarar algunas de las vagas ideas que había respecto al concepto de número, y cuyos |
|estudios se dirigieron principalmente hacia dicha teoría. Ya desde la época de Cantor se reconocía que uno de los conceptosfundamentales en matemáticas era |
|el de conjunto. |

No es posible dar una definición formal del concepto de conjuntos, pero es conveniente tener una noción intuitiva de que un conjunto es un grupo o colección de objetos que reciben el nombre de elementosdel conjunto. En español hay muchas palabras que denotan colecciones, por ejemplo: parvada (de aves), banco (de peces), rebaño (de ovejas), manada (de leones).

La característica principal de un conjunto es que esté bien definido. Esto es, dado un objeto particular, debe saberse con claridad si dicho objeto es o no un elemento del conjunto. De esta manera, si se considera el conjunto de losnúmeros enteros pares, se sabe que 2 es un elemento de dicho conjunto, pero que 5 y ½ no lo son; por consiguiente, el conjunto anterior está definido. Por otra parte, el conjunto de las jóvenes más bellas de Chile no está bien definido, ya que esto depende del gusto de cada persona.

Ejemplo:
¿Cuáles de las siguientes descripciones definen a un conjunto?
a) Números interesantes
b) Múltiplosde 2
c) Secretarias Eficientes
d) Ejecutivos de la General Motors en 1999.
e) Números que pueden sustituir a x, a fin de que [pic]

Solución b, d y e

Indicaremos los letras minúsculas, [pic] como elementos y con letras mayúsculas A, B, C, …, los conjuntos.

Así [pic]

Ej: [pic] y [pic]

Notemos que el conjunto A contiene los mismos elementos que el conjunto B.

Paraescribir un conjunto, tenemos dos formas:

Extensión: Consiste en enumerar los elementos del conjunto.
Ejemplo: El conjunto A dado antes

Comprensión: Indicando alguna(s) propiedad(es) que cumplen todos sus elementos y solamente ellos.
Ejemplo: Conjunto B dado antes

Ejercicio: Describa por extensión los siguientes conjuntos:
A = { x ( N/x es un número par menor que 10 }
B= { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
C = { x ( Z/x es un número impar menor que 10 y mayor que -5 }
E = { x( N /x es un múltiplo de 3 }



Algunas veces sucede que todos los elementos del conjunto A también forman parte de otro conjunto B. Por ejemplo: A es el conjunto de los alumnos de la clase, y B es un conjunto de todos los estudiantes de la carrera. Los elementos de A...