Matematicas

UNIDAD II
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
“Medidas de dispersión”

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
En algunos casos existen conjuntos de datos que tienen la misma media y la
misma mediana, pero esto no refleja qué tan dispersos están los elementos de
cada conjunto.
Ejemplo:
Conjunto 1.
Conjunto 2.

80, 90,100, 110, 120
0, 50, 100, 150, 200

Conjunto 1

Media =

80 + 90 + 100 + 110 + 120
= 100
5

Media =

0 + 50 + 100 + 150 + 200
= 100
5

Conjunto 2

Observa que para ambos conjuntos la Mediana es igual a 100. También
nota que los datos del conjunto 2 están más dispersos con respecto a su
media que los datos del conjunto 1.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Existen diversas medidasestadísticas de dispersión, pero muchos autores
coinciden en que las principales son:

Rango
Varianza
Desviación estándar
Coeficiente de variación

RANGO
Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el
valor más elevado (Límite superior) y el valor más bajo (Límite inferior).

FÓRMULA

Rango = X MAX − X MIN
Ejemplo 1.
Ante la pregunta sobre númerode hijos por familia, una muestra de 12 hogares,
marcó las siguientes respuestas:
2
2

1
3

2
2

4
0

Calcula el rango de la variable
Solución.

Rango = 5 − 0 = 5

1
5

3
1

Ejemplo 2.
Hay dos conjuntos sobre la cantidad de lluvia (mm) en Taipei y Seúl en un año.

Taipei
Seúl

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
86 135 178 170 231 290 231 305 244 12266 71
40 77 83 89 147 168 184 252 209 101 32 13

Calcula el rango en cada una de las ciudades.
Solución.
Aplicando la fórmula correspondiente tenemos:

Taipei

Rango = 305mm − 66mm = 239mm

Seúl

Rango = 252mm − 13mm = 239mm
En este caso se puede
observar que el rango es el
mismo para ambos casos
aunque las cantidades sean
diferentes.

Cantidad de lluvia (mm)

Cantidad delluvia en Taipei y Seúl 1998

350
300
250
200
150
100
50
0

Taipei
Seoul

Mes

VARIANZA (Datos no agrupados)
Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula
como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media,
multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. La
sumatoria obtenida se divide por el tamaño dela muestra.
n

FÓRMULA
Muestral

s2 =

∑ (x
i =1

i

− x )2

n −1

N

Poblacional

σ2 =

( xi − µ x ) 2
∑
i =1

N

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero,
más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el
contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
Ejemplo 1.
Calcula la varianza paralos siguientes datos
2

1

2

4

1

3

2

3

2

0

5

1

Solución.
Primero es necesario obtener la media. En este caso

x = 2.16

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente
(2−2 62 +(1−2 62 +(2−2 62 +(4−2 62 +(1−2 62 +(3−2 62 +(2−2 62 +(3−2 62 +(2−2 62 +(0−2 62 +(5−2 62 +(1−2 62
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
.1 )
s2 =
1 −1
2s2 =

21.6672
= 1.9697
11

Ejemplo 2.
A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un
experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la
varianza.
Estudiante A
Estudiante B

8
7

Volumen de ácido medido (cm^3)
12
7
9
3
10
12
11
6
7 15
12
11
9
9

12
13

14
11

Solución.
Primero es necesario obtener la media decada conjunto de datos. En este caso
Estudiante A

x=

8 + 12 + 7 + 9 + 3 + 10 + 12 + 11 + 12 + 14
= 9 .8
10

Estudiante B

x=

7 + 6 + 7 + 15 + 12 + 11 + 9 + 9 + 13 + 11
= 10
10

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

Solución (Continuación).
Estudiante A
s2 =

(8−9.8)2 +(12−9.8)2 +(7−9.8)2 +(9−9.8)2 +(3−9.8)2 +(10−9.8)2 +(12−9.8)2 +(11−9.8)2 +(12−9.8)2 +(14−9.8)2...