matematicas

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
El primer tipo de ED que presentamos es el de variables separables, porque con frecuencia se intenta separar
las variables de las ecuaciones de dos variables. Veamos algunos ejemplos.
.x 2

Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica

x/.y 2 C 3/ D2xy.

H Por separar las variables de la ecuación se entiende que, por medio de operaciones algebraicas válidas,
se coloquen todas las x de un lado de la igualdad y todas las y del otro lado. En este caso,
.x 2

x/.y 2 C 3/ D 2xy )

x2

x
x

D

2y
:
C3

y2

Como explicamos, se han colocado las x del lado izquierdo de la ecuación y las y del lado derecho.
Ejemplo 2.2.2 Separarlas variables de la siguiente ED

dy
D 2
dx
.x

2xy
.
x/.y 2 C 3/

H Para una ED como ésta, separar variables significa que, por medio de operaciones algebraicas válidas,
se escriba la ED en la forma:
g.y/ dy D h.x/ dx :

Entonces tenemos:

dy
D 2
dx
.x

Y ahora:
g.y/ D

y2 C 3
y

2xy
y2 C 3
2x
)
dy D 2
dx :
2 C 3/
x/.y
y
x
x
&

h.x/ D

2x
;
x2 x

conDel resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial
bles separables.
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

y ¤ 0 y x2

dy
D 2
dx
.x

x ¤ 0:

2xy
es una ED de variax/.y 2 C 3/

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial
forma:

y0 D

dy
D f .x; y/ es de variables separables si podemos escribirla en la
dx
g.y/ dy D h.x/ dx :

Elmétodo para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta
última igualdad, es decir:
g.y/ dy D

h.x/ dx )

) ˛.y/ C C1 D ˇ.x/ C C2 ) ˛.y/ ˇ.x/ D C2 C1 )
) .x; y/ D C , que es la solución general de la ED.
En general, la solución queda definida de manera implícita.
Ilustramos este método con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2.2.3 Resolver laecuación diferencial y 0 D
H

dy
D sen x.
dx

Separando las variables tenemos:
dy
D sen x ) dy D sen x dx :
dx

Integrando directamente:
sen x dx ) y D

dy D

cos x C C;

que es la solución general de la ED.
Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuación diferencial y 0 D sen y.
H

Separando las variables tenemos:
dy
dy
D sen y )
D dx :
dx
sen y

Integrando:
dy
D
sen y

dx )csc y dy D x C C ) ln j csc y

cot y j D x C C :

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuación diferencial
H

dy
D 2
dx
.x

2xy
.
2/.y 2 C 3/

Separando las variables:
dy
D 2
dx
.x

2xy
y2 C 3
2x
)
dy D 2
dx :
2/.y 2 C 3/
y
x
2

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables

3Integrando:
y2 C 3
dy D
y

2x
x2

2

Ã
Â
3
yC
dy D ln x 2
y

dx )

2 CC )

y2
C 3 ln j y j D ln x 2 2 C C :
2
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
)

Observaciones. En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral
dy
D ln j y j C C
y
es la forma correcta de aplicar esta fórmula deintegración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las
páginas siguientes y en el resto del libro, el lector podrá encontrar varias veces
du
D ln u C C:
u
Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones y
conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED.
Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de Cálculo, lasconvenciones usuales
en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir
sen y D f .x/ ) y D arcsenŒf .x/;

no hace falta insistir que, para que y sea una función bien definida, se debe cumplir j f .x/ j Ä 1.

En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente restricciones tales como que los denominadores
deben ser ¤ 0, que los argumentos del logaritmo deben ser...