Matematicas

Ceros Reales de Polinomios
Problemas
Encontrar todos los ceros reales del polinomio. 1. P (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 Soluci´n: o Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±3, ±6. P (x) tiene tres variaci´nes de signo implica que tiene 1 ´ 3 ceros positivos. o o P (−x) = −x3 − 6x2 − 11x − 6, no tiene variaci´n de signo implica que no tiene o ceros negativos. 1 1 1 -6 1 -5 11 -5 6 -6 6 0

x = 1es un cero. Entonces, P (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Por lo tanto los ceros son 1, 2, y 3.

2. P (x) = x3 − 4x2 − x + 4 Soluci´n: o Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±4. P (x) tiene dos variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2 ceros positivos. o o P (−x) = −x3 − 4x2 + x + 4, tiene una variaci´n de signo implica que tiene 1 o cero negativo.1 1 1 -4 1 -3 -1 -3 -4 4 -4 0

x = 1 es un cero. Entonces,

1

P (x) = x3 − 4x2 − x + 4 = (x − 1)(x2 − 3x − 4) = (x − 1)(x − 4)(x + 1). Por lo tanto los ceros son −1, 1 y 4.

3. P (x) = x3 + 12x2 + 21x + 10 Soluci´n: o Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±5,±10. P (x) no tiene variaci´nes de signo implica que no tiene ceros positivos. o P (−x) = −x3 + 12x2 − 21x + 10, tiene 3variaci´nes de signo implica que tiene o 1 ´ 3 ceros negativos. o -1 1 1 12 -1 11 21 -11 10 10 -10 0

x = −1 es un cero. Entonces, P (x) = x3 + 12x2 + 21x + 10 = (x + 1)(x2 + 11x + 10) = (x + 1)(x + 1)(x + 10) = (x + 1)2 (x + 10). Por lo tanto los ceros son −1 y −10.

4. P (x) = x3 − 4x2 + 5x − 2 Soluci´n: o Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2. P (x) tiene 3 variaci´nes de signo implica quetiene 1 ´ 3 ceros positivos. o o P (−x) = −x3 − 4x2 − 5x − 2, no tiene variaci´nes de signo implica que no tiene o ceros negativos. 1 1 1 -4 1 -3 5 -3 2 -2 2 0

x = 1 es un cero. Entonces, P (x) = x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)(x2 − 3x + 2) = (x − 1)(x − 1)(x − 2) = (x − 1)2 (x − 2).

2

Por lo tanto los ceros son 1 y 2.

5. P (x) = 2x3 + 3x2 − 1 Soluci´n: o Los posibles ceros racionalesson: ±1, ± 1 . 2 P (x) tiene 1 variaci´n de signo implica que tiene 1 cero positivo. o P (−x) = −2x3 + 3x2 − 1, tiene 2 variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2 o o ceros negativos. -1 2 2 3 -2 1 0 -1 -1 -1 1 0

x = −1 es un cero. Entonces, P (x) = 2x3 + 3x2 − 1 = (x + 1)(2x2 + x − 1) = (x + 1)(2x − 1)(x + 1) = (x + 1)2 (2x − 1). Por lo tanto los ceros son −1 y 1 . 2

6. P (x) = 4x3 − 3x − 1Soluci´n: o Los posibles ceros racionales son: ±1, ± 1 , ± 1 . 2 4 P (x) tiene 1 variaci´n de signo implica que tiene 1 cero positivo. o P (−x) = −4x3 + 3x − 1, tiene 2 variaci´nes de signo implica que tiene 0 ´ 2 o o ceros negativos. 1 4 4 0 4 4 -3 4 1 -1 1 0

x = 1 es un cero. Entonces, P (x) = 4x3 − 3x − 1 = (x − 1)(4x2 + 4x + 1) = (x − 1)(2x + 1)(2x + 1) = (x − 1)(2x + 1)2 .
1 Por lo tantolos ceros son 1 y − 2 .

3

7. P (x) = 4x3 + 3x2 + 8x + 6 Soluci´n: o 1 Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2, ±3, ±6, ± 2 , ± 1 , ± 3 , ± 3 . 4 2 4 P (x) no tiene variaci´n de signo implica que no tiene ceros positivos. o P (−x) = −4x3 + 3x2 − 8x + 6, tiene 3 variaci´nes de signo implica que tiene 1 o o ´ 3 ceros negativos. -1 4 4 3 -4 -1 8 1 9 6 -9 -3

x = −1 es cota inferior. −3 4 44 3 -3 0 8 0 8 6 -6 0

x = − 3 es un cero. 4 Entonces, P (x) = 4x3 + 3x2 + 8x + 6 = (x + 3 )(4x2 + 8) = (4x + 3)(x2 + 2). 4 Como x2 ≥ 0 implica que − 3 es el unico cero real. 4

8. P (x) = x4 − 3x2 + 2 Soluci´n: o Los posibles ceros racionales son: ±1, ±2. P (x) tiene 2 variaci´nes de signo o implica que tiene 0 ´ 2 ceros positivos. o P (−x) = x4 − 3x2 + 2, tiene 2 variaci´nes de signo implicaque tiene 0 ´ 2 ceros o o negativos. 1 1 1 0 1 1 -3 2 -1 0 -1 -1 2 -1 1

-1

1 1

0 -1 -1

-3 1 -2

0 2 2

2 -2 0

x = −1 es un cero.

4

Entonces, P (x) = x4 − 3x2 + 2 = (x + 1)(x3 − x2 − 2x + 2) = (x + 1)(x2 (x − 1) − 2(x − 1)) = (x + 1)(x − 1)(x2 − 2) = (x2 − 1)(x2 − 2). √ Por lo tanto los ceros son ±1 y ± 2.

9. P (x) = x4 − x3 − 2x − 4 Soluci´n: o Los posibles ceros...