Matematicas

 
COORDENADAS CILINDRICAS.
 
Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.
 
r = 4                 Cilindro, radio 4, eje el eje z
=               Plano que contiene al eje z
z= 2                   Plano perpendicular al eje z
 
 
El elemento de volumen parasubdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es               
 
 
Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO.  Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una función F(r, , z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0,lateralmente por el cilindro circular  y arriba por el paraboloide 
 
 
Solución
Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el círculo  Su ecuación en coordenadas polares es

 
 
Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, ) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en  
Paso 3: Loslímites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a          R en r =0 y sale en 
Paso 4: Los límites  de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo  que forma con el eje x positivo varía de  La integral es

 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS ESFERICAS.
 
Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planosarticulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.
 
 
Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:
 
       Esfera, radio 4, centro en el rigen.
      Se abre desde el origen y forma un ángulo de py3 radianes con el eje z positivo.
      Medio plano, articulado a lo largo del eje z, que formaun ángulo de  radianes
                  con el eje x positivo.
 
 
El elemento de volumen en coordenadas esféricas es el volumen de una cuña esférica definida por los diferenciales  La cuña es aproximadamente una caja rectangular con un arco circular de longitud  en un lado y un arco circular de longitud  y espesor de  en otro lado. Por consiguiente, el elemento de volumen en coordenadasesféricas es

Y las integrales triples adoptan la forma

 
 
 
 
 
 
EJEMPLO. Encuentre el volumen de la región superior D cortada de la esfera sólida por el cono 
 
Solución El volumen es , que es la integral, de 
 
Paso 1: Hacemos un croquis de D y su proyección R sobre el plano xy.
Paso 2: Los límites  de integración. Dibujamos un rayo M desde el origen que forme un ángulo  con eleje z positivo. También dibujamos L, o sea la proyección de M sobre el plano xy, junto con el ángulo , que Lforma con el eje x positivo. El rayo M entra a D en =0 y sale en  =1.
Paso 3: Los limites  de integración. El cono  forma un ángulo de  con el eje z positivo. Para cualquier , el ángulo  varía entre  =0 y =.
Paso 4: Los límites  de integración. El rayo L barre sobre R cuando  varía de 0a .
El volumen es 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LINEA.
 
Cuando una curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, , pasa por el dominio de una función     f(x, y, z) en el espacio, los valores de f a lo largo de la curva están dados por la función compuesta f(g(t), h(t), k(t)). Si integramos esta composición respecto a la longitud de arco de
t = a a t = b, calculamos la así llamada integralde línea de f  a lo largo e la curva. A pesar de la geometría tridimensional, la integral de línea es una integral ordinaria de una función real sobre un intervalo de números reales.
 
Definición y notación.
 
Supongamos que f(x, y, z) es una función cuyo dominio contiene la curva                                    r (t) = g(t)i+h(t)j+k(t)k, . Subdividimos está última en un número finito...