matematicas

CAPÍTULO 3
Función Exponencial y Función Logarítmica

3.1)

Repaso de propiedades de las potencias

Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que
se resumen a continuación.

a m ⋅ a n = a m+ n

(a )

m n

= a m⋅ n

a
 
b

a0 =1
a −n =

n

an
a
  = n
b
b

1
an

−n

n

bn
b
=  = n
a
a

m

a n =n am

am
= a m−n
n
a

3.2)

Función Exponencial

Definición ℝ
Sea f una función, f : IR → IR + tal que f (x ) = a x , a > 0,
a ≠ 1 , a f se le llama función exponencial de base a .

La gráfica de una función exponencial depende de la base, a saber:

Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I
N. Figueroa & V. Ramírez

Caso 1:
f : IR → IR + , f ( x ) = ax , a > 1 . La gráfica presenta la forma
siguiente:

y

(0,1)
x
Aquí podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor
que uno, tiene las siguientes características:
Su dominio es ℝ.
Su ámbito es ℝ+.
Es biyectiva.
Es estrictamente creciente.
Es asintótica al eje X negativo.
Interseca al eje Y en (0,1) .
Es cóncava hacia arriba.

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Caso 2:
f:IR → IR + , f ( x ) = a x , 0 < a < 1 , la gráfica presenta la forma
siguiente:

y

(0,1)
x
En este caso podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base
sea mayor que cero y menor que uno, tiene las siguientes características:

Su dominio es ℝ.
Su ámbito es ℝ+.
Es biyectiva.
Esestrictamente decreciente.
Es asintótica al eje X positivo.
Interseca al eje Y en (0,1) .
Es cóncava hacia arriba.

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Función exponencial de base e
Sea f una función, f : IR → IR + tal que f ( x ) = e x , a f se le
llama función exponencial natural.

Recordemos que e ≈ 2.7182818459... y esclaro que este número es un número
irracional, mayor que 1, por lo que su gráfica es semejante a la del caso 1.

3.3)

Función Logarítmica

Iniciamos este estudio con un resultado que para todos es claro:

28 = 256 .

Consideremos ahora la pregunta ¿a cuál número debemos elevar el 2 para obtener
256? Para responderla debemos encontrar un número x tal que 2 x = 256 ; de aquí,

x = 8 .En este caso, diremos que 8 es el logaritmo de 256 en base 2 y escribimos
log2 256 = 8.
Es decir que:
28 = 256 ⇔ log 2 256 = 8
Así hallar el logaritmo de un número dado es “encontrar el exponente de una
potencia cuyo valor es el número dado”.
Entonces, podemos decir que el logaritmo de base a de un número x es el
exponente al cual debe elevarse a para obtener x .
En términos generales:log a x = y ⇔ a y = x

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N. Figueroa & V. Ramírez

Donde

y = log a x , se llama notación logarítmica y a y = x , se llama notación

exponencial.
Además, es conveniente señalar que las bases más usadas en el trabajo con
logaritmos son 10 y

e ; a los respectivos logaritmos se les llama logaritmos

decimales ylogaritmos naturales o neperianos. En estos casos se acostumbra no
escribir la base, es decir:
log 10 x = log x
ln e x = ln x
Definición
Sea f una función, f : IR + → IR tal que f ( x ) = log a x, con
a > 0 , a ≠ 1 , a f se le llama función logarítmica.

La gráfica de una función logarítmica depende de la base, a saber:
Caso 1:
f : IR + → IR tal que f ( x ) = log a x, a > 1, la gráfica es unaparábola de la siguiente forma:

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En este caso podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base
mayor que 1 cumple las siguientes características:
Su dominio es ℝ+.
Su ámbito es ℝ.
Es biyectiva.
Es estrictamente creciente.
Es asintótica al eje Y negativo.
Interseca al...