Matematicas

Ecuaciones diferenciales de orden 1

¿Qu´ es una ecuaci´n diferencial?
e
o

Definici´n
o
Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n que contiene las
o
o
derivadas de una o m´s funciones con respecto a una o m´s
a
a
variables independientes.
Ejemplos
y + x 2 y = y sen x,

xy − y = 0,

∂u
∂2u ∂2u
+
,
=
∂t
∂x 2 ∂y 2

y + sen y = 0

∂u
∂u
+u
=0
∂t
∂x

¿Qu´ es unaecuaci´n diferencial?
e
o
Ecuaci´n diferencial ordinaria
o
Si la funci´n depende de una sola variable, es una ecuaci´n
o
o
diferencial ordinaria.
Por ejemplo,
y + x 2 y = y sen x,

xy − y = 0,

y + sen y = 0

Ecuaci´n en derivadas parciales
o
Si la funci´n depende de varias variables y por tanto las derivadas
o
son derivadas parciales se dice que se trata de una ecuaci´n en
oderivadas parciales.
Por ejemplo,
∂2u ∂2u
∂u
=
+
,
∂t
∂x 2 ∂y 2

∂u
∂u
+u
=0
∂t
∂x

Definiciones
Orden de una ecuaci´n diferencial
o
Se llama orden de una ecuaci´n diferencial al mayor orden de
o
derivaci´n que aparece entre las derivadas de la misma.
o

Son ecuaciones diferenciales de orden 1:
∂u
∂u
+u
=0
∂t
∂x
Son ecuaciones diferenciales de orden 2:
xy − y = 0,y + x 2 y = y sen x,

y + sen y = 0,

∂u
∂2u ∂2u
=
+
∂t
∂x 2 ∂y 2

Definiciones

Forma general de una ecuaci´n de primer orden
o
Si y = y (x) indica una funci´n derivable,
o
Una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden 1 en forma
o
impl´
ıcita es una expresi´n del tipo
o
F (x, y , y ) = 0
Una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden 1 en forma
o
expl´
ıcita o normaladopta la forma
y = f (x, y ).

Definiciones

Problemas de valor inicial
Un problema de valor inicial o problema de Cauchy para una
ecuaci´n diferencial de primer orden consiste en resolver
o
y = f (x, y )
y (x0 ) = y0

Definiciones

Soluciones
Se llama soluci´n de una ecuaci´n diferencial de orden 1 en el
o
o
intervalo I = (a, b), a toda funci´n ϕ(x) definida en I de clase
o
C 1 deforma que al sustituir la funci´n y su derivada en la
o
ecuaci´n diferencial, se transforma en una identidad.
o
Una familia de soluciones de una ecuaci´n diferencial
o
ordinaria de orden 1 es una familia de funciones dependientes
de un par´metro, de forma que para cada valor dado al
a
par´metro, se obtiene una soluci´n particular de la ecuaci´n
a
o
o
diferencial.

DefinicionesSoluciones
Se llama soluci´n general de una ecuaci´n diferencial , a una
o
o
familia de soluciones que contiene todas las soluciones de la
ecuaci´n.
o
Una soluci´n que no proviene de la soluci´n general para
o
o
ning´n valor del par´metro se llama soluci´n singular.
u
a
o

Ejemplo
Dada la ecuaci´n diferencial y = 2x, determinar su soluci´n
o
o
general

Ecuaciones de variablesseparables

Se dice que una ecuaci´n diferencial es de variables separables si
o
se puede escribir en la forma
y = f (x)g (y ).

Ejemplos
Resolver las siguientes ecuaciones
1

y = y (1 − y )

2

y = ey x

2

Ecuaciones homog´neas
e

Una ecuaci´n diferencial y = f (x, y ) es homog´nea si la funci´n
o
e
o
f es tal que f (αx, αy ) = f (x, y ) para α ∈ R.
Una ecuaci´nhomog´nea puede reducirse a una ecuaci´n de
o
e
o
y
variables separables mediante el cambio de funci´n: v =
o
x

Ejemplo
Resolver
xy =

y2 y
+
x
x

Ejercicios
1

Resolver las siguientes ecuaciones
a. y = 2x y − 1
c. xy 2 y = x 3 + y 3

2

b. y = 2xy
d. y = xy + x − 2y − 2

a. Comprobar que la ecuaci´n
o
y =

x +y −2
x −y +4

no es homog´nea.
e
b. Determinar elpunto (x0 , y0 ) en el que se cortan las rectas
x + y − 2 = 0 y x − y + 4 = 0.
c. Transformar la ecuaci´n diferencial anterior mediante el
o
cambio de variables t = x − x0 , z = y − y0 .
d. Comprobar que la nueva ecuaci´n es homog´nea y resolverla.
o
e
e. Deshacer el cambio de variable para obtener la soluci´n general
o
de la ecuaci´n dada.
o

Ecuaciones diferenciales exactas

Una...