matematicas

Actividades de extensión


1) Diseñar una secuencia de enseñanza sobre “series infinitas convergentes” a partir de las paradojas de Zenón


Secuencia didáctica:

La paradoja de Zenón:Cuando el filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas.
Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja delcorredor se puede exponer de la manera siguiente:

Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir,cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que correr la otra mitad.
Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte, cuando haya corrido la mitad de esta cuartaparte, le quedará la octava parte y así sucesiva e indefinidamente.

Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otromodo, que la suma de un número infinito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.
La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita,fue contradicha 2000 años más tarde con la creación de la teoría de las series infinitas.

Primera situación didáctica:


Que carajo pasa?



Supóngase que el corredor antes mencionado, correa velocidad constante y que necesita T minutos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará T /2 minutos, para el octavo siguiente T / 4 minutos y en generalpara la parte comprendida entre 1/2n y 1/(2n +1) necesitará T /2n minutos. La «suma» de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:




Este es unejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir si es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.
La experiencia...