Matematicas

ESQUEMA INFERENCIAL
Un sistema aleatorio real queda completamente definido e identificado por una variable
aleatoria con distribución de probabilidad conocida
v.a. X∼f(X; q)

donde f: forma funcional
q: parámetros de la distribución de probabilidad

Ejemplo: X ‘peso de los alumnos de ADE’

X ≈ N ( µ = 68;σ = 5);

1 ⎛ X −µ ⎞
⎟
σ ⎠

− ⎜
1
f ( X ; µ ,σ ) =
e 2⎝
σ 2π

2

1 ⎛ X−68 ⎞
1
⎟
⎜
=
e − 2⎝ 5 ⎠
5 2π

INFERENCIA ESTADISTICA II - PAZ, JOSEV - UNIV. VALENCIA - 2011

2

1

CASOS POSIBLES:
1. Si f-conocido y q-conocido: CÁLCULO PROBABILISTICO
Ej:

v.a. X ≈ N ( µ = 68;σ = 5);

2. Si f?-desconocido y q-conocido:

¿P(X>72) = P ( z >

72 − 68
52

) = ...

a) TEORÍA: f(X)-exacta
b) CONVERGENCIA: f(X)-aproximada
c) INFERENCIA NO-PARAMÉTRICA(q?)

Ejemplos:
a) TEORÍA (desarrollos algebraícos): la suma de v.a. Normales es Normal

Y = ∑i =1 X i ≈ N ( µ = 3·68;σ = 3·5 2 );

v.a. X ≈ N ( µ = 68;σ = 5);

3

b) CONVERGENCIA: aplicación TCL
v.a. X ≈ D ( µ = 68;σ = 5);

L
Y = ∑i =1 X i →TCL ≈ N ( µ = 300·68;σ = 300·5 2 )
300

c) INFERENCIA NO PARAMÉTRICA: también aplicable cuando f? y q?
v.a. X ≈ D( µ = ?;σ = ?);
{H 0 : f( X ) = f 0 ; H 1 : f ( X ) ≠ ϑ 0 }

3. Si f-conocido y q?-desconocido: INFERENCIA PARAMÉTRICA
Puntual
Intervalos de confianza
Pruebas de Hipótesis
Ej:

v.a. X ≈ N ( µ ?;σ ?);

Estimación puntual de m:
m∗
Estimación Intervalo de confianza de m:

~
m ∗ ± zα ⋅ σ
Prueba de Hipótesis de de m: {H 0 : µ = µ 0 ; H 1 : µ ≠ µ 0 }

INFERENCIA ESTADISTICA II - PAZ, JOSEV - UNIV. VALENCIA -2011

2

ESQUEMA INFERENCIAL
Población: v.a. X∼f(X; q)

Observación/datos/valor empírico: X*

Ø
Muestra (n): v.a. Xn =(X1,X2, …,Xn) ∼ L=f(X1,X2, …,Xn)

datos: (X1, X2, …,Xn)*

Nota: Si (Xi )-independientes Æ L=f(X1,X2, …,Xn)= f(X1)·f(X2)··· f(Xn)
Ø
ˆ ˆ
ˆ
Estimador/estadístico: v.a. ϑ = ϑ ( X 1 , X 2 ,... X n ) ≈ f (ϑ )
Ejemplo: media muestral (m=θ^)

ˆ
datos: ϑ ∗

v.a.m=∑i Xi/n ∼f(m);

m*

Ø
Estimaciones/inferencia:
ˆ
1) Puntual : ϑ ∗
~ ~
ˆ
2) Intervalo de confianza (1-a): ϑ ∗ ± zα ⋅ σ ; σ : error típico (estándar) o varianza estimador
~
ε = z ⋅ σ : error de estimación (o precisión)
α

3) Prueba Hipótesis (1-a) paramétricas:
Bilateral {H 0 : ϑ = ϑ0 ; H 1 : ϑ ≠ ϑ0 }
Unilaterales {H 0 : ϑ ≤ ϑ0 ; H 1 : ϑ > ϑ0 } ; {H 0 : ϑ ≥ ϑ0 ; H 1 : ϑ < ϑ0 }
Regióncrítica o rechazo de Ho
p-valor pv
determinación tamaño muestral n: a) error de estimación dado; b) error típico dado
4) Prueba Hipótesis (1-a) no-paramétricas: {H 0 : f ( X ) = f 0 ; H 1 : f ( X ) ≠ ϑ0 }
errores en las Pruebas de Hipótesis (tipo I, tipoII)

INFERENCIA ESTADISTICA II - PAZ, JOSEV - UNIV. VALENCIA - 2011

3

Intervalos de confianza (bilateral, unilaterales)

p-value deuna Prueba de Hipótesis

Nota:
Extremos del intervalo de confianza (1-a): [L1; L2]
L + L2
Centro del intervalo c = 1
2
Amplitud del intervalo A= L2-L1 ; En un intervalo bilateral A = 2·ε
Nivel de confianza (1-a)
Nivel de significación o significatividad (a): Probabilidad de cometer error al
rechazar la hipótesis nula H0 (error tipo I)
Valor crítico (za): valor de la N(0,1) asociado auna cola de probabilidad (a).
Discrepancia observada en la muestra (z*): valor del estadístico en la muestra.
p-value (pv): cola de probabilidad asociada a la discrepancia observada z*.
Estadísticamente significativo: indica que se puede rechazar la hipótesis nula (por las
desviaciones observadas en la muestra), siendo la probabilidad de error inferior a (a)

Conceptos de: Censo y encuestaINFERENCIA ESTADISTICA II - PAZ, JOSEV - UNIV. VALENCIA - 2011

4

Sucesiones de variables aleatorias
Sucesión de Muestras (n=1,2,3,…): v.a. {Xn}={ X1, (X1,X2), (X1,X2,X3)…} ∼ {f(Xn)}
datos: {Xn}*
Sucesión de variables muestrales/estimadores (n=1,2,3,…):
ej: de medias muestrales v.a. {mn} = {m1, (m1,m2), (m1,m2,m3),...} ∼ {f(mn)};
datos: {mn}*= {m1*, (m1,m2)*, (m1,m2,m3)*,...};...