Matematicas

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA (MATEMÁTICAS)
MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA
GRADO EN MARKETING E INVESTIGACIÓN DE MERCADOS

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE LA LECCIÓN 1
−1 2 1 
 2 − 1
2




 
1. Dadas las matrices A =  0 4 − 2  y B =  1
3  y el vector x =  − 1 .


2
3 1 1 

− 2 1 

 




1. A+B: No se puede realzar este cálculo.2. A-3B: No se puede realzar este cálculo

 − 2
 
3. Ax =  − 8 
 7
 
4. Bx: No se puede realzar este cálculo

− 2 8 


5. AB =  8 10 
 5 1


6. ABx: No se puede realzar este cálculo

 − 4 16 


7. 2AB =  16 20 
 10 2 


8. Det(A) = -30
9. Det(AB): Una matriz no cuadrada no tiene determinante asociado.
10. Rango(A) = 3
11. Rango(B) = 2
12.Rango(AB) = 2

 4 7 −4 


13. A =  − 6 14 − 10 
 0 11 2 


2

 23 13 




2
 22 38 
14. A B =




 7 35 


1

 1
−
 5
15. −1  1
A =
 5
 2


 5

2

16. a) A =  0
0

0


2

b) A t =  0
0

0


4

15 
2
1

15 15 
7
2

−

30 15 
1
30

1 −3
5
0

4
2

0

0

6 
1 
1 

− 3


1 −3
5 4
0
0

2
0

t

6   2
 
1   1
=
1  −3
 
− 3  6
 

0 

0 
4 2 0 

1 1 − 3

0 0
5 0

1 0 2 


c) B =  0 4 5 
2 5 − 7


 0 1 3 


d) C =  − 1 0 − 7 
−3 7 0 


 0 1 3


e) D =  5 6 4 , ya que D = 0
5 7 7



2

2. Determine el carácter de los siguientes sistemas y, sies posible, resuélvalos:
a) − x + y + z = 3
x− y+z =7
x+ y − z =1

Calculamos el determinante de la matriz del sistema:

−1

A= 1
1

1

1

−1 1 = 4
1 −1

El determinante es distinto de cero, lo que implica que el rango de A es 3 y el sistema es compatible
determinado.
Resolvemos el sistema por Crámer:
1

−1 3

1

−1

1

7 −1

1

1

1

1

−1 7

1

−13

x* =

1
1
A

=

1
16
= 4, y* =
4

7

1 −1
A

=

1
8
= 2, z* =
4

1
A

3
1

=

20
=5
4

Solución: (x* = 4, y* = 2, z* = 5)
b) x + y + z = 1
2x − y + z = 2
x − 2y

=1

Calculamos el determinante de la matriz del sistema:

1

1

1

A = 2 −1 1 = 0
1 −2 0
El determinante es cero y, por tanto, el rango de A no es 3. Obsérvese que el menor
1 1correspondiente a las dos primeras filas y columnas de A es
= −3 ≠ 0 , luego Rg(A) = 2.
2 −1
Por otro lado, el rango de la matriz ampliada es también 2 (F3=F2-F1), por lo que Rg(A) = Rg(A│b) =
2< 3 (nº de incógnitas). El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones.
Para resolver el sistema nos quedamos con las dos primeras filas de A (hemos comprobado
anteriormente que elmenor correspondiente a las dos primeras filas y columnas es distinto de
cero). Sea z = α. El sistema resultante es:

x + y = 1−α
2 x − y = 2 −α
Resolvemos el sistema por Crámer:

x* =

1−α
2 −α

1
−1

1 1
2 −1

=

− (1 − α ) − (2 − α ) − 3 + 2α
2
=
=1− α
−3
−3
3

3

1 1−α
y* =

2 2 −α

2 − α − 2(1 − α )
1
=− α
−3
3

=

1 1
2 −1

3 - 2α
α

Luego, la solución es:  x * =
, y * = − , z * = α , α ∈ ℜ
3
3



c)

x − 2y + z = 1
3 x − y − 2z = 4

− 4 x + 3y + z = 2

Calculamos el determinante de la matriz del sistema:

−2

1
A= 3
−4

1

−1 − 2 = 0
3
1

El determinante es cero y, por tanto, el rango de A no es 3. Calculamos el valor del menor
correspondiente a 1, 2 y 4 de la matriz ampliada:

1

−2 1
− 1 4= 35
3 2

3
−4

Esto implica que el rango de la matriz ampliada es 3 y, por tanto, el sistema es incompatible, no
posee solución.
d)

x− y+z = 0
2x + y − z = 0

y+z =0

El sistema es homogéneo y compatible determinado (el determinante de la matriz es distinto de
cero), luego la única solución que posee es la trivial, es decir, (x* = 0, y* = 0, z* = 0)
e)

3x + 3 y

=0
z=0...