matematicas

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2005

MATEMÁTICAS II
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES



Junio, Ejercicio 3, Opción A



Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B



Reserva 2,Ejercicio 3, Opción B



Reserva 4, Ejercicio 3, Opción A



Septiembre, Ejercicio 3, Opción B

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1
1 0
2
0
 1 2 0
Sean las matrices: A = 
,B=
 y C =

 3 −2 
 3 −1 2 
 −1 1 4 
a) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcúlala.
b) Determina la matriz X que cumple que A ⋅ X + C ⋅ B t = B ⋅ B t , siendo B t la matriztranspuesta
de B.
MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N
a) Para que la matriz A tenga inversa su determinante tiene que ser distinto de cero.
A =

2 1
= −4 − 3 =−7 ⇒ La matriz A tiene inversa
3 −2
t

 − 2 − 3   −2 −1   2

 

d t
( A )  −1 2   −3 2   7
−1
=
=
=
A =
A
−7
−7
3

7

1
7

2
− 
7

b)

A ⋅ X + C⋅ Bt = B ⋅ B t ⇒ A ⋅ X = B ⋅ B t − C ⋅ B t = ( B − C ) ⋅ B t ⇒
⇒ A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ ( B − C ) ⋅ B t ⇒ X = A−1 ⋅ ( B − C ) ⋅ Bt
2
7
X =
3

7

1
3  − 4
0
  0 1 0   1 2 0  
7
  7
 ⋅ 
−
  ⋅  1 −1  = 
2
3 −1 2   −1 1 4   
 1
−  
2 

0
  7
7

6 
7 

26 
− 
7 

 0 0
 3 1
 5 −2 
Halla la matriz X que cumpleque: A ⋅ X ⋅ A − B = 
 siendo A = 
 y B=

3
 0 0
 −2 −1 
1
MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N
0 0
−1
−1
−1
A⋅ X ⋅ A = B + 
 =B ⇒ A ⋅ A⋅ X ⋅ A = A ⋅ B ⇒ X ⋅ A = A ⋅ B ⇒
0 0

−1
⇒ X ⋅ A ⋅ A = A−1 ⋅ B ⋅ A−1 ⇒ X = A−1 ⋅ B ⋅ A−1
Vamos a calcular la matriz inversa de A.
t

(A )
=

d t

A

−1

A

 −1 2  −1 −1 

 

−1 3   2 3   1 1 
=
=
=

−1
−1
 −2 −3 

Por lo tanto, la matriz X será:
 1 1   5 −2   1 1   4 3 
X = A−1 ⋅ B ⋅ A−1 = 
⋅
⋅
=

 −2 −3  ...