Matematicas

Matem´tica 1-Ingenier´ Comercial 2014 - Secci´n C
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Gu´ 1 - Ecuaciones, resoluci´n y problemas de aplicaci´n
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Ecuaciones
Si dos expresiones algebraicas unidas por un signo igual contienen al menos una variable, la nueva expresi´n
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que resulta se denomina ecuaci´n algebraica o, simplemente, ecuaci´n.
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Un valor de la variable que haga de la ecuaci´n unaproposici´n verdadera se denomina soluci´n de la misma
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y se dice que tal valor de la variable satisface la ecuaci´n. El conjunto de todos los valores que satisfacen
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una ecuaci´n se llama conjunto soluci´n de la ecuaci´n.
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Uno de los problemas m´s comunes en Matem´tica es resolver una ecuaci´n, es decir, encontrar todas
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las soluciones posibles de la ecuaci´n dada. Parallevar a cabo este proceso, por lo general, se efectuan
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ciertas operaciones en la ecuaci´n que la transforman en una nueva ecuaci´n mas f´cil de resolver. Tales
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simplificaciones deben realizarse en forma tal que la nueva ecuaci´n tenga las mismas soluciones que la
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original, es decir, se debe, en lo posible, obtener ecuaciones equivalentes o, lo que es lo mismo, ecuaciones
conid´ntico conjunto soluci´n.
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Entre las reglas que aseguran equivalencia de ecuaciones est´n: sumar (o restar) el mismo n´mero de ambos
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lados, as´ como multiplicar (o dividir) ambos lados por la misma constante, excepto cero.
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Hay operaciones que al aplicarlas a ecuaciones no garantizan que la ecuaci´n resultante sea equivalente a la
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original, por ejemplo:
Multiplicar ambos lados dela ecuaci´n por expresiones no num´ricas, es decir, expresiones que cono
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tengan la variable.
Suprimir un factor com´n no num´rico de ambos miembros de una ecuaci´n.
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Elevar a la misma potencia, por ejemplo al cuadrado, ambos miembros de una ecuaci´n.
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Si no se tiene certeza de obtener equivalencia de ecuaciones con las operaciones realizadas en una ecuaci´n dao
da con el fin deresolverla, es conveniente verificar todas los valores obtenidos al final de estos procedimientos
sustituy´ndolas en la ecuaci´n original.
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Algunos tipos de ecuaciones
1. Ecuaci´n lineal: Una ecuaci´n lineal en x es de primer grado y tiene la forma
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ax + b = 0 , a = 0
b
Toda ecuaci´n lineal tiene exactamente una soluci´n x igual a − a
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2. Ecuaci´n cuadr´tica: Una ecuaci´ncuadr´tica en x es de segundo grado y tiene la forma
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ax2 + bx + c = 0 , a = 0
Puede tener dos, una o ninguna soluci´n real x, dependiendo de que el discriminante, ∆ = b2 − 4ac ,
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sea mayor, igual o menor que cero, respectivamente.
√
−b ± b2 − 4ac
F´rmula cuadr´tica: x =
o
a
2a
Nota: No s´lo existe el m´todo de la f´rmula cuadr´tica para resolver una ecuaci´n como la anterior,
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tambi´n est´n el de la factorizaci´n y el de la completaci´n de cuadrados. Con frecuencia, el m´todo
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de factorizaci´n es el m´s r´pido, pero en algunas ocasiones es dif´ reconocer los factores, m´s a´n,
o
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muchas expresiones cuadr´ticas no tienen factores reales, en tales casos es imposible factorizar en R.
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Universidad de Talca
3. Otrasecuaciones: A menudo surgen ecuaciones que a primera vista no parecen ser lineales, ni
cuadr´ticas, pero que pueden reducirse y resolverse como tales, es el caso de las que contienen fraca
ciones, ra´
ıces, etc. Particularmente, cuando se resuelve una ecuaci´n fraccionaria o una ecuaci´n con
o
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radicales, con frecuencia se aplican operaciones que no garantizan que la ecuaci´n resultante seaequio
valente a la original. Estas operaciones incluyen, por ejemplo, la multiplicaci´n de ambos miembros
o
por una expresi´n que contenga a la variable y elevar ambos miembros a la misma potencia. Todas las
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soluciones obtenidas al final de tales procedimientos deben verificarse sustituy´ndolas en la ecuaci´n
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original, de manera que se pueda determinar las llamadas “soluciones...