Matematicas

MATEMÁTICAS I

Bloque: ANÁLISIS

TEMA 7: FUNCIONES.
Introducción
Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la
forma (x,y) donde x es un elemento de X e y, uno de Y.
Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al parecer, la
palabra función fue introducida por René Descartes en 1637. Para él una función
significabatan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable x. Leibniz, quien
siempre enfatizó el lado geométrico de las matemáticas, utilizó la palabra función para
denotar cualquier cantidad asociada con una curva, tal como las coordenadas de un punto
sobre la curva. Leonhard Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera
variables y constantes con la palabra función; estaidea es similar a la utilizada ahora con
frecuencia en los cursos que preceden al de cálculo. Posteriormente, el uso de funciones en
el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una definición muy amplia,
debida a Lejeune Dirichlet, la cual describe a una función como una regla de
correspondencia entre dos conjuntos.
1.) Definición de Función.
Una función f es una relaciónentre dos variables numéricas, habitualmente las
denominamos x e y; a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de los
valores de la otra para su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variable
independiente y suele ser la x.
En esta relación se verifica que a cada valor de la variable independiente x le corresponde
un único valor de la variable dependientey, así tenemos la relación y = f(x)
Ejemplo:

En el primer ejemplo se trata de la gráfica de una función ya que a cada valor de x le
corresponde uno de y. En el segundo ejemplo no es una función ya que a cada valor de x le
corresponden dos valores de y.
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar
ambas variables (dependiente e independiente), peroademás las funciones tienen dos
conjuntos importantes a la hora de definirlas que son el Dominio y el Recorrido.

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Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de
estas expresiones: D(f), Dom(f).
Se llama Recorrido, Rango oImagen de una función al conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la
función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas
expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).
Ejemplo:
x+2
x
Se tiene que el Dominio de la función es
todo el conjunto de los números reales salvo
el 0, ya que anulaal denominador.
El rango es todo el conjunto de los reales.

Esta es la gráfica de la función f ( x ) =

2.) Funciones Reales de Variable Real.
Una función real de variable real es aquella en la que la variable independiente, x, y la
dependiente y, toman valores reales. En este caso tanto el dominio como el recorrido de la
función son conjuntos de números reales.
f :ℜ 
→ ℜ
x
→ y =f ( x )

2.1) Clasificación de funciones.
Las funciones reales de variable real se clasifican en:
1) Algebraicas que pueden ser de tres tipos:
a) Polinómicas: f ( x ) = x 4 + 3x − 4
b) Racionales: f ( x ) =

3x 3 + 4 x − 2

x2 − 2
c) Irracionales: f ( x ) = x − 5
2) Trascendentes que pueden ser de tres tipos:
a) Exponenciales: f ( x ) = 2 x − 4 o de la forma f ( x ) = e x + 1
b)Logarítmicas: f ( x ) = log(2 x − 5) o f ( x ) = ln(3x + 1)
c) Trigonométricas: f ( x ) = sen ( x + 5)

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En todas estas funciones hay que tener cuidado donde están definidas ya que, por ejemplo,
la función f ( x ) = x − 5 está definida sólo cuando x - 5 sea mayor ó igual que 0, es decir
su dominio serán las x pertenecientes al conjunto [5, + ∞) .
En...