matematicas

Teoría de Conjuntos
 
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. 
 
Ejemplos de conjuntos: 
 
 : el conjunto vacío, que carece deelementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
  
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
  
Unconjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, 
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {p Z | p es par}
  
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), 
y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; 
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; 
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y sedenota  (A). 
Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos: 
 
Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, 
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, sellama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}. 
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A
Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U, 
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
 ' = U .
U ' = .
(A')' = A .A  B  B'  A' .
Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.
  
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, 
es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, 
es decir:A  B := {x | x  A  x  B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'. 
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES
UNION
INTERSECCION
1.- Idempotencia
A  A = A
A  A = A
2.- Conmutativa
A  B = B  A
A  B = B  A
3.- Asociativa
A  ( B  C ) =( A  B )  C
A  ( B  C ) = ( A  B )  C
4.- Absorción
A  ( A  B ) = A
A  ( A  B ) = A
5.- Distributiva
A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
6.- Complementariedad
A  A' = U
A  A' = 

 
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. 
Además de éstas, severifican también las siguientes propiedades:
A   = A , A   =  ( elemento nulo ).
A  U = U , A  U = A ( elemento universal ).
( A  B )' = A'  B' , ( A  B )' = A'  B' ( leyes de Morgan ).
  
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: 
 
A  B := { (a,b) : a  A  b  B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A  B...