matematicas

Resumen Sumatoria, Inducción y Progresión Aritmética
(Felipe Pérez)
1. Sumatoria: Operador que permite representar sumas muy grandes, de n
sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con laletra griega sigma ( Σ ).
n

∑x

= x m + x m +1 + x m + 2 + ... + x n −1 + x n .

k

k =m
5

∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
k =1

La variable k es el índice de suma al que se le asigna unvalor inicial llamado
límite inferior (m ) . k recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite
superior (n ) .
Necesariamente se debe cumplir que m ≤ n .
n

∑k =
k =1

n(n + 1)
2n

∑k

2

=

k =1

·
n·(n + 1)(2·n + 1)
6

 n(n + 1) 
∑k =  2 


k =1
n

2

3

n

∑ a = (n − m + 1)a

, a = cte.

k =m

n

∑ ak =
k =m

a n +1 − a m
, a =cte.
a −1

n

n

k =m

k =m

∑ a· f (k ) = a·∑ f (k )

, a = cte.

n

n

n

k =m

k =m

k =m

∑ (af (k ) ± bg (k )) = a ∑ f (k ) ± b ∑ g (k )
n

r

n

r

k =m

j=s

, a, b = ctes.

∑∑ a· f (k )· g ( j ) = a ∑ f (k )∑ g ( j ) , a = cte.
k =m j =s
n

n

m −1

k =m

k =1

k =1

∑ f (k ) = ∑ f (k ) − ∑ f (k )
n

∑
k =0

n

f (k ) = f (0) + ∑ f (k )
k =1


n

∑ ( f (k ))

2

k =1

 n

≠  ∑ f (k )
 k =1


2

n

Cambio de Variable: Si tengo una sumatoria de la forma

∑ f (k ) y quiero
k =m

cambiar loslímites de la suma o la forma de la función f (k ) hago un cambio de
la forma: l = k m p → k = l ± p , para encontrar los nuevos límites de la
nm p
n
k = m → l = m m p 
sumatoria: 
→ ∑ f (k )= ∑ f (l ± p )

k =m
l =m m p
k = n → l = n m p 
n

Finalmente cambio l por k, y así obtengo que:

∑

nm p

f (k ) =

k =m

n

Propiedad Telescópica:

∑ (a

k +1

∑ f (k ±p )
k =m m p

− a k ) = a n +1 − a m

k =m

2. Principio de Inducción Matemática: Sea S n una proposición sobre el entero n.
Entonces, si:
S1 es verdadera.
S k +1 es verdadera siempre que...