matematicas

FLEXIÓN DESVIADA Y COMPUESTA
Trataremos en este capítulo el caso general de una viga cuando está sometida a esfuerzos
de directa y exión. En este análisis no consideraremos la existencia de torsión y cortante. Las
solicitaciones de la barra estarán referidas a un sistema de ejes baricéntricos como los indicados en
la gura 1. La directa que llamaremos N será la resultante según el eje ztomada en el baricentro. Será
positiva cuando sea de tracción y negativa si es de compresión. El momento ector sera descompuesto
en dos vectores uno según el eje x y otro según el eje y cuyos módulos designaremos Mx y My . Los
signos serán denidos, empleando la regla de la mano derecha. En estas condiciones la solicitación
queda denida por tres escalares N, Mx y My .

Figura 1: Denición delos ejes de una barra
Consideraremos además que los ejes x e y son los ejes principales de la sección. De esta forma:
Ixy =

xy dA = 0
A

1.

Introducción

Para el análisis se pueden distinguir tres casos.
Un primer caso es cuando Mx = My = 0 y solo existe N = 0 . Este caso es el de una directa
pura. Es muy sencillo y ya fue analizado. En toda la sección se producen tensionesconstantes σz
que en lo sucesivo denominaremos σ para simplicar la notación, que son: σ = N/A. Donde A es la
supercie de la sección. En este caso, es conocido que no existe línea neutra.
Un segundo caso es cuando N = 0. De este segundo caso fueron ya estudiadas las situaciones
particulares cuando uno de los dos momentos es igual a cero (My = 0 o Mx = 0). En la situación
particular de que noexistiera exión según y, es decir My = 0 la tensión normal será:
σ(y) = −

Mx
y
Ix

(1)

Análogamente la otra situación particular es cuando Mx = 0 resultando que:
σ(x) =

My
x
Iy

(2)
1

El signo negativo aparece en la primera expresión pues un momento positivo Mx produce
compresiones para y ≥ 0. En la situación particular (Mx = 0) el signo es positivo pues un momento
positivo Myproduce tracciones para x ≥ 0.
La situación más general en este segundo caso es cuando actúan los dos momentos Mx y My
mientras que N = 0. Esta solicitación es conocida como exión desviada y será estudiada en este
capítulo.
Un tercer caso es cuando N = 0 y además existen momentos de exión. Este caso es conocido
como exión compuesta y será estudiado también en este capítulo.
2.

Flexióndesviada

2.1. Formulación del problema
El caso general de exión desviada (en la que no hay directa) es cuando existe un momento
aplicado a la barra con cualquier dirección de aplicación en el plano denido por los ejes coordenados
x e y , como se indica en la gura 2.

Figura 2: Descomposición de un momento desviado aplicado a una barra
En estas condiciones
(3)

Mx = M · cos α

(4)Las tensiones producidas por M pueden determinarse superponiendo el efecto de ambos
momentos, en un punto genérico de la sección de la barra de coordenadas (x, y) serán entonces:
My = M · sen α

σ(x, y) = −
⇒ σ(x, y) = M

−

My
Mx
y+
x
Ix
Iy

sin α
cos α
y+
x
Ix
Iy

(5)

2.2. Cálculo de la línea neutra:
La condición que dene si un punto pertenece a la línea neutra esσ(x, y) = 0, en consecuencia:
−

cos α
sin α
y+
x=0
Ix
Iy
⇒ y=

(6)

Ix
tan α x
Iy

(7)

Ix
tan α
Iy

(8)

tan β =

Notar que en todas las situaciones posibles el baricentro de la sección G de coordenadas (0, 0)
cumple que G ∈ LN .
Estamos deniendo en la expresión anterior β como el ángulo que forma la línea neutra con el
eje de las x considerado en el mismo sentido queel ángulo α, o sea en sentido horario. Ver gura 3.
Los ángulos α y β en general no serán iguales, pero en algunos casos particulares lo son, podemos
mencionar los siguientes casos:
2

Figura 3: Línea Neutra
Si Ix = Iy ya que entonces tan α = tan β . Esto se da por ejemplo en el caso de secciones
circulares o cuadradas.
Si α = 0 ya que en este caso β = 0 y M = Mx
Si α =

Π
2

ya...