Matematicas

Universidad Viña del Mar Departamento de Ciencias Básicas

Matemáticas II Semestre primavera 2011

MÓDULO UNO: LÍMITES Y CONTINUIDAD
EJEMPLOS INTRODUCTORIOS:
1. Considere la función a) ¿Existe f (−3) ? b) Haga una tabla de valores de

f ( x) =

x2 − 9 x+3

f (x) con cercanos a -3 (por cualquiera de los lados de -3). Investigue qué pasa con las imágenes f (x) cuando x se acerca a -3. f( x) =

2. Sea

x3 − 8 , x−2 a) ¿Cuál es el Dom f ?
b) Considere la tabla:

x
1,5 1,9 1,99 2 2,001 2,01 2,1

f ( x) =

x3 − 8 x−2

≈ 9,25 11,41 11,94 No existe 12,006 12,06 12,61

En la tabla se observa que cuando x se aproxima a 2 (pero x es diferente de 2), aproxima al valor 12. Lo anterior lo denotaremos como:

f ( x) se

lim f ( x) = 12
x→2

(límite de

f (x) cuandotiende a 2 es igual a 12).

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE:
Decir que,

lim f ( x) = L
x →c

significa intuitivamente que f (x ) tiende a estar cada vez más cerca de L cuando x se acerca cada vez más a c. Una vez que decidimos qué tan cerca de L queremos que esté f (x ) , es necesario que

f (x ) esté cerca de L para toda x suficientemente cercana (pero no igual ) a c.

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Teoremas: Si a es una constante y a) b) c)

lim f ( x ) , lim g ( x ) x→c x→c

existen, entonces:

lim x = c x→c lim a = a x→c

lim  f ( x ) + g ( x )  = lim f ( x ) + lim g ( x )  x →c x→c  x→c lim  f ( x ) − g ( x ) = lim f ( x ) − lim g ( x )  x →c x→c  x→c lim  a ⋅ f ( x )  = a ⋅ xlim f ( x)  x→c  →c lim  f ( x ) ⋅ g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )  x →c x→c  x→c
lim  x→c
 f ( x )  lim f ( x ) x →c si lim g ( x ) ≠ 0 = x →c g ( x )  lim g ( x )    x →c
n n

d)

e)

f)

g)

h)

lim  f ( x ) = lim f ( x )   x→c  x→c
 

Ejemplo: Calcule los siguientes límites: a)

lim
x →2

2x − 3 4

b)

lim
x→0

33x + 12 22 x 2 − 24

c)

lim x→3
lim x → −1

x2 − x − 6 x2 − 9
3

d)

lim x→4

x + 12 − 4 4− x

e)

lim x →1

x −1 x2 − 1

f)

x+9 −2 x +1

Observación: Note que para calcular algunos de los límites anteriores es necesario realizar algún tipo de factorización. Ejemplo: Mediante una tabla de valores encuentre el valor de

lim x →0

sen( x) x

x -0,01 -0,005 -0,001 0 0,001 0,005 0,01

f ( x) =sen x x

0,99998333 0,99999583 0,99999983 No existe 0,99999983 0,99999583 0,99998333

El ejemplo anterior nos permite visualizar el siguiente teorema:

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Teorema:

lim
x →0

sen( x) =1 x

Ejemplo: Calcule los siguientes límites a)

lim
x →0

sen(5 x) 2x

b)

lim x→ 0

sen(3x) sen( x )

LÍMITES LATERALES
Límites por la derecha y por la izquierda: Decir que lim f ( x ) = L significa que cuando +
x →c

x está cerca, pero a la derecha de c ,

entonces f (x ) está cerca de L . De manera análoga, decir que que cuando

lim f ( x) = L , significa
x →c −

x está cerca, pero a la izquierda de c , entonces f (x) está cerca de L .

Ejemplo: En el siguientegráfico vemos una función definida por partes. En este caso si x se acerca a 1 por la izquierda (es decir por valores menores 1) entonces la función f(x) se acerca a 2. Sin embargo, si x se acerca a 1 por la derecha (es decir valores mayores que 1) la función f(x) se acerca a 3. De esta manera podemos escribir:

lim f ( x) = 2
x →1+

lim f ( x) = 3
x →1−

Ahora bien, ¿Qué ocurre en el casoanterior con permite responder esta interrogante. Teorema:

lim f ( x) ? El siguiente teorema nos x →1

lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L − +
x→c x→c x→c

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En el ejemplo anterior como

lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x →1+ x →1−

entonces

lim f ( x) no existe. x →1

Ejemplos: 1....