Matematicas

LAS MATEMÁTICAS DEL CONTROL
Enrique Fernández-Cara
Departamento E.D.A.N. Universidad de Sevilla

ARBOR Ciencia, Pensamiento y Cultura CLXXXIII 725 mayo-junio (2007) 383-393 ISSN: 0210-1963

Enrique Zuazua
Departamento de Matemáticas. Universidad Autónoma de Madrid

ABSTRACT: In this article we discuss some issues related with Control Theory addressing its origin, main motivations andhistorical evolution. We describe some of the fundamental mathematical ingredients of the theory, and some of the major breakthroughs, characterized both by their mathematical depth and their implications from a technological, industrial and social viewpoint. We also mention some challenging open problems that will very likely influence the development of the discipline in the coming years. KEYWORDS: Control theory, history, progresses, applications, open problems.

RESUMEN: En este artículo analizamos algunos aspectos de la Teoría de Control que incluyen consideraciones sobre sus orígenes, sus motivaciones y su evolución. Describimos algunos elementos matemáticos fundamentales y diversos avances que se caracterizan a la vez por su interés científico y su transcendencia desde un puntode vista social, tecnológico e industrial. También, mencionamos algunos de los retos que se plantean en esta disciplina para un futuro inmediato. PALABRAS CLAVE: Teoría del Control, historia, avances, aplicaciones, problemas abiertos.

1. MISIÓN

Y CONCEPTOS CLAVE

tema físico en consideración a través de la ecuación de estado A (y) = f (v). (1.1)

S. Bennet inicia su libro [3], dedicado ala historia de la Ingeniería del Control, con la siguiente cita de Aristóteles del capítulo 3 del primer volumen de “Política”
... Si cada instrumento pudiera llevar a cabo su propia función, respondiendo o anticipándose al trabajo de otros... Si la lanzadera tejiese y la púa tocase el arpa sin una mano que los guiara, los patronos no necesitarían ni sirvientes ni capataces.

Esta idea,expresada con enorme acierto por Aristóteles, refleja de manera transparente lo que ha sido el motor de la Ingeniería del Control y de su teoría matemática: la automatización de los procesos para la liberación y mejora de la calidad de vida del ser humano. La palabra “control” implica “actuación” y refleja el esfuerzo humano para intervenir en el medio que le rodea para garantizar su supervivencia yuna permanente mejora en la calidad de vida. Muchos de los problemas de control pueden analizarse a través de un modelo matemático que describe el sis-

Aquí, y es la solución, el estado, la variable que proporciona información sobre el “status” del sistema y v es el control, la variable que podemos elegir con libertad en Uad (el conjunto de controles admisibles) para actuar sobre el mismo. Enla práctica (1.1) es una ecuación o sistema algebraico o funcional (integral, diferencial ordinario, en derivadas parciales, etc.), eventualmente completado con condiciones iniciales, de contorno u otras. “Controlar” el sistema (1.1) es hallar v en Uad tal que la solución de (1.1) verifique un objetivo prefijado. Cuando esta propiedad se cumple se dice que el sistema es controlable y, cuando loes, con frecuencia, existe más de un control que satisface el objetivo. En estos casos es natural seleccionar un control óptimo, de talla mínima en una determinada norma. Esta formulación puede parecer sofisticada e incluso oscura a los lectores no familiarizados con este tema.

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Sin embargo, ha surgido de manera natural a lo largo de la historia de estadisciplina y posee la gran ventaja de unificar el planteamiento de problemas de naturaleza muy distinta. La disciplina del Control ha existido desde hace mucho tiempo, incluso antes de haber recibido esa denominación. Ciertamente, en el mundo de los seres vivos, los organismos están dotados de mecanismos que regulan las diferentes tareas que realizan. Esto garantiza que las variables esenciales...