Matematicas
Páginas: 2 (483 palabras)
Publicado: 29 de mayo de 2014
Series de Fourier
Una función periódica de período 2 se puede representar por una serie trigonométrica de la
forma:
f( x)
a0
2
( an cos ( k x) bn sin( k x) )
k1
Siendo:
1
a0( x)
f( x) dx
an ( x)
1
f( x) cos ( k x) dx
y bn( x) 1
f( x) sin ( k x) d xDefinimos nuestra función. Por ejemplo:
f(x) x para x
Luego hallamos los distintos coeficientes de nuestra serie:
1
a0 ( x)
f( x) d x 0
1
an ( x)
f( x) cos ( k x) d x 0
bn( x)
1
f( x) sin( k x) dx
2 sin k k cos k
2
k
Finalmente calculamosnuestra serie hasta el tercer término:
f1( x)
a0( x)
2
3
( an ( x) cos ( k x) bn( x) sin( k x) ) 2 sin( x) sin( 2 x)
k 1
2
3
sin( 3 x)
Siqueremos, podemos graficar la función y de esta manera comprobar que el resultado
obtenido sea correcto.
5
f1 ( x) 0
5
30
20
10
0
10
20
30
x
Cuanto mayor sea el número detérminos de nuestra serie, más próxima será la gráfica a la de
la función verdadera. Si por ejemplo realizamos la misma serie con 100 términos,
obtendremos el siguiente gráfico:
4
2
f2 ( x)0
2
4
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
x
Nótese que a la hora de calcular la serie, se ha llamado a la función "f1(x)" en lugar de "f(x)"
porque el programa nopermite que haya dos funciones que tengan asignado el mismo
nombre.
Otro ejemplo:
2
h(x) x
a00( x)
1
h( x) dx
a1( x)
1
2 2
3
2 k sin k 2 sin k 2 k cos k
3
k
2 2
( h( x) cos ( k x) ) dx
1
b1( x) ( h( x) sin ( k x) ) dx 0
...
Una función periódica de período 2 se puede representar por una serie trigonométrica de la
forma:
f( x)
a0
2
( an cos ( k x) bn sin( k x) )
k1
Siendo:
1
a0( x)
f( x) dx
an ( x)
1
f( x) cos ( k x) dx
y bn( x) 1
f( x) sin ( k x) d xDefinimos nuestra función. Por ejemplo:
f(x) x para x
Luego hallamos los distintos coeficientes de nuestra serie:
1
a0 ( x)
f( x) d x 0
1
an ( x)
f( x) cos ( k x) d x 0
bn( x)
1
f( x) sin( k x) dx
2 sin k k cos k
2
k
Finalmente calculamosnuestra serie hasta el tercer término:
f1( x)
a0( x)
2
3
( an ( x) cos ( k x) bn( x) sin( k x) ) 2 sin( x) sin( 2 x)
k 1
2
3
sin( 3 x)
Siqueremos, podemos graficar la función y de esta manera comprobar que el resultado
obtenido sea correcto.
5
f1 ( x) 0
5
30
20
10
0
10
20
30
x
Cuanto mayor sea el número detérminos de nuestra serie, más próxima será la gráfica a la de
la función verdadera. Si por ejemplo realizamos la misma serie con 100 términos,
obtendremos el siguiente gráfico:
4
2
f2 ( x)0
2
4
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
x
Nótese que a la hora de calcular la serie, se ha llamado a la función "f1(x)" en lugar de "f(x)"
porque el programa nopermite que haya dos funciones que tengan asignado el mismo
nombre.
Otro ejemplo:
2
h(x) x
a00( x)
1
h( x) dx
a1( x)
1
2 2
3
2 k sin k 2 sin k 2 k cos k
3
k
2 2
( h( x) cos ( k x) ) dx
1
b1( x) ( h( x) sin ( k x) ) dx 0
...
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