matematicas

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CAPITULO 3
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CALCULO INTEGRAL

1.

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INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO
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• Concepto de area
• Sumas de Riemann

• Integrales irracionales

• Integral definida

• Area de la regi´ n entre dos curvas
o

• Propiedades de la integral definida

• Volumen de un s´ lido de revoluci´ n
o
o

• Integral indefinida

• Longitud de arco de una curva

• Propiedades de laintegral indefinida

• Area de una superficie de revoluci´ n
o

• Teorema Fundamental del C´ lculo Integral
a

• Integral impropia

• Integraci´ n por cambio de variable
o

• Regla del punto medio

• Integraci´ n por partes
o

• Regla del trapecio

• Integraci´ n de funciones racionales
o

2.

• Integraci´ n de funciones trigonom´ tricas
o
e

• Regla de Simpson

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CONTENIDOSFUNDAMENTALES DEL CAPITULO

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2.1. El problema del area
´
En esta secci´ n partimos de la base que el concepto de area es bien conocido. Esto no significa que el alumno
o
deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no m´ s bien que todos poseemos una idea intuitiva que
a
no necesita aclaraci´ n.
o
´
El tipo de regi´ n m´ s simple con el que nos podemos encontrar es unrect´ ngulo, cuya area se define como
o
a
a
´
el producto de su base por su altura. A partir de esta definici´ n podemos obtener las f´ rmulas para el area de
o
o
regiones m´ s complicadas: tri´ ngulos, paralelogramos, pol´gonos regulares, etc. El gran problema se plantea
a
a
ı
´
cuando se intenta calcular el area de regiones m´ s generales que las poligonales.
a
Los primeros matem´ticos que intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizando el
a
m´ todo de “exhauci´ n”. Este m´ todo, atribuido a Arqu´medes, consiste en encajar la regi´ n entre dos pol´gonos,
e
o
e
ı
o
ı
´
uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las areas de los dos pol´gonos es peque˜ a, entonces podemos
ı
n
´
´
´
aproximar el area de la regi´ npor cualquier n´ mero comprendido entre el area del pol´gono inscrito y el area del
o
u
ı
pol´gono circunscrito.
ı
El m´ todo que emplearemos aqu´ es parecido. Se trata de aproximar la regi´ n por una uni´ n de rect´ ngulos de tal
e
ı
o
o
a

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MATEM ATICAS

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´
forma que el area de la regi´ n se aproxime por la suma de las areas de los rect´ ngulos.
o
a

2.2. La integraldefinida

2.2.1. El sumatorio
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Como hemos indicado anteriormente, el area de una regi´ n se va a obtener como una suma (posiblemente infinita)
o
´
de areas de rect´ ngulos. Para facilitar la escritura y comprensi´ n de tal proceso, vamos a introducir una notaci´ n.
a
o
o
La suma de n t´ rminos a1 , a2 , . . . , an se denota por
e
n

ai = a1 + a2 + · · · + an ,
i=1

e
e
ı
dondei se llama ´ndice de la suma, ai el i-´ simo t´ rmino de la suma y los l´mites inferior y superior de la
ı
´
suma son 1 y n, respectivamente. Estos l´mites deben ser constantes con respecto al ´ndice de la suma y la unica
ı
ı
restricci´ n es que el l´mite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al l´mite inferior.
o
ı
ı
El sumatorio posee las siguientes propiedades:
n

nkai = k

(1)
i=1

ai , donde k es una constante que no depende del ´ndice de la suma.
ı
i=1

n

n

[ai ± bi ] =

(2)
i=1

n

ai ±
i=1

bi
i=1

Por ejemplo, algunas f´ rmulas de suma importantes son las siguientes:
o
n

c = cn.

(1)
i=1
n

i=

(2)
i=1

n(n + 1)
.
2

n

i2 =

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

i3 =

(3)

n2 (n + 1)2
.
4

i=1
n(4)
i=1

2.2.2. Sumas de Riemann
Consideremos una funci´ n f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Una partici´ n P de dicho intervalo es un
o
o
conjunto de n´ meros {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } tales que
u
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

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C ALCULO INTEGRAL

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Si ∆xi es la anchura del i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, ∆xi = xi − xi−1 , entonces se...