Matematicas

Páginas: 6 (1349 palabras) Publicado: 15 de septiembre de 2012
RESOLUCIÓN DEL TRABAJO PRÁCTICO 1
Materia:Matemáticas



EJERCICIO 1 (30 puntos)

Dada la función

x2 + x − 6
f ( x) = 2
, se pide:
x + 2x − 3

a) Encuentre su dominio y los puntos de intersección de la función con los ejes
cartesianos.
b) Indique los puntos en los que la función es discontinua y clasifique esas
discontinuidades (si son evitables o no). Justifique su respuesta.c) Halle la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=0.
d) Grafique la función f(x) y la recta encontrada en c) en un mismo diagrama
cartesiano.
a) El Dominio de la función está formado por los valores de x para los que la función está
definida. Como esta función es racional, no puede calcularse cuando el denominador se
anula. Esos valores se buscan resolviendo laecuación + 2 − 3 = 0.
Utilizando la fórmula de la resolvente, se obtienen x = - 3 y x = 1, que deberán excluirse del
dominio.
Por lo tanto, D = R − {-3; 1}
La intersección con el eje de las ordenadas, se obtiene reemplazando, en la fórmula de la
función f(x), la x por cero. En este caso, se obtiene 2. Por lo tanto, la intersección con el eje
y es en (0; 2).
La intersección con el eje de lasabscisas se encuentra igualando a cero la función:

x2 + x − 6
=0.
x2 + 2x − 3

Entonces, despejando, será:

x 2 + x − 6 = 0.( x 2 + 2 x − 3) Esto sólo

se puede hacer si x ≠ −3 o si x ≠ 1 , porque esos dos valores no pertenecen al dominio de
la función.
2
Continuando, será x + x − 6 = 0 , y por lo tanto, x = 2 o x = -3. Pero este último valor, no
pertenece al dominio. Por eso, laúnica intersección de la función con el eje de las abscisas
es en (2;0).
b) Si la función no está definida para algún valor de x, la función no será continua en ese
punto.
Esta función no está definida para los valores de x que anulan el denominador. En ésos
valores la función es discontinua. En este caso, hay discontinuidades en x = -3 y x = 1.
Matemáticas. Prof. Gabriela Nelba Guerrero

1 Para analizar esas discontinuidades, se calcula el límite de la función cuando x tiende a esos
valores:

x2 + x − 6
( x + 3).( x − 2)
x−2
−5
= límx→ −3
de modo que esta
= lím x → −3
=
2
( x + 3).( x − 1)
( x − 1) − 4
x + 2x − 3
5
discontinuidad se puede evitar, definiendo la imagen de x = -3 como y = .
4
2
x + x−6
( x + 3).( x − 2)
x−2
= límx→1
2) límx→1 2
= lím x→1
= ∞, es decir, este límite no
( x + 3).( x − 1)
( x − 1)
x + 2x − 3
existe.

1) límx→ −3

Como no existe el límite para la función en las proximidades de x = 1, la discontinuidad no
se puede salvar. En x = 1 hay una asíntota vertical.

c) Para hallar la ecuación de la recta tangente a la función, es necesario obtener la pendiente
y la ordenada al origen de esa recta. Pero, la pendientede la recta tangente a una función en
un punto, es igual a la derivada de la función en ese punto. Por lo tanto, para obtener la
pendiente de la recta tangente, en necesario derivar la función (aplicando la fórmula de la
derivada de un cociente):

f ′( x ) =

(2 x + 1).( x 2 + 2 x − 3) − ( x 2 + x − 6).(2 x + 2)
( x 2 + 2 x − 3) 2

El valor de esta derivada cuando x=0, se obtieneremplazando x por cero y realizando los
cálculos. En este caso, se obtiene 1. Por lo tanto, la recta tangente buscada, tendrá esa
pendiente.
Para hallar la ordenada al origen, es necesario tener presente que la recta tangente debe
“rozar” a la función en el punto de abscisa x = 0. ¿Cuál es la ordenada de ese punto en la
función? Para averiguarlo, se remplaza este valor en la fórmula de f(x) (estoya se hizo en
a), el resultado es 2). Por lo tanto, la recta tangente tiene pendiente 1 y pasa por (0; 2).
Entonces, su ecuación es la siguiente: r ( x) = x + 2
d) El siguiente gráfico se realizó utilizando Geogebra:
En él se aprecia en azul la función f(x) y en rojo la recta del punto c), tangente a la función
en el punto de abscisa x = 0.
Nótese que en este gráfico no se aprecia la...
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