matematicas

Derivadas Parciales
Encontrar las primeras derivadas parciales de:
a)

f ( x, y, z ) = x 2e yz

b)

f ( x, y, z ) = xy 2 z 3 + 3 yz

c)

f ( x, y ) = ln( x + x 2 + y 2 )

d)

f ( x, y) = x y

f ( x, y ) =

x2 y3
si (x,y) ≠ ( 0 ,0 )
2x2 + y2
0
si (x,y) = ( 0 ,0 )

f)

f ( x, y ) =

xy
si (x,y) ≠ ( 0 ,0 )
x + y2
0
si (x,y) = ( 0 ,0 )

g)

f ( x, y ) = x 2 y 3− 3 x

h)

f ( x, y , z ) =

i)

f ( x, y, z ) = e 2 xz −

j)

f ( x, y, z ) = ln( xyz 2 )

k)

f ( x, y , λ ) =

l)

f (r , t ) =

e)

2

y
x + y2 + z2
2

z2
+ xz ⋅ sen(y )
y

x 2 yλ − 3λ5

λ2 − 3λ + 5

2π r
t

m) g ( x, y ) = ln( ye xy )

Derivadas Direccionales
Calculas las siguientes derivadas, en el punto dado y la dirección del vector v
a)

f (x, y ) = x 2 + y 2

(6,-2)
(2,0)

f ( x, y , z ) =

d)

f ( x, y, z ) = xyz

v = (1,2,3)

(x,y,z)

x
y+z

c)

v = (i + j)

(4,1,1)

b) g ( s, t ) = s 2et

v = (-1,3)

v =(1/3,-2/3,-2/3)

Plano Tangente
a) Determine la ecuación del plano tangente a la función en el punto dado
1)

f ( x, y ) = 3 x + 8 y − 10

(x0,y0)

2)

f ( x, y ) = x 3 + 8 y 3

(0,0)3)

f ( x, y ) = x y

(2,1)

4)

f ( x, y ) = 4 x 2 + y 2

(2,-1,17)

5)

f ( x, y ) = x 2 − y 2 + 2

(1,1,2)

b) Hallar los puntos de la superficie z = x 3 + y 3 − 3 x − 12 y + 20para los cuales, el
plano tangente sea horizontal.
c) Encuentre los puntos de la superficie x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 12 donde el plano
tangente es perpendicular a la recta de ecuación x = 1 + 2t ; y =3 + 8t ; z = 2 − 6t .
d) Determinar el ángulo formado por las superficies de ecuación:
x2 + y 2 + z 2 = 8
x2 + y 2 = 2z
en el punto (1, 3 ,2) .

Derivadas Implícitas
a) Si u = f (

y−x z−xdu
du
du
,
) demostrar que x 2
+ y2
+ z2
=0
xy
zx
dx
dy
dz

b) Sea z = yF ( x 2 − y 2 ) , demuestre que y

dz
dz xz
+x
=
dx
dy y

c) Siendo z = x 2 + 2 xy + y 2 , con x = t...