matematicas

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

1

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1
1.1.1

Continuidad y diferenciabilidad
Problema

Dada la función f : IR2 ! IR de…nida como
(
xy
; si (x; y) 6= (0; 0)
arctg 2
x + y2
:
f (x; y) =
0
; si (x; y) = (0; 0)
a)Veri…car si f es continua en IR2
@f @f
b) Calcular si existen las derivadas parciales
;
en IR2
@x @y
Solución.
a) Tenemos que f (x; y) es continua 8 (x; y) 6= (0; 0) puesto que es
xy
composicion de dos funciones continuas, como son arctg y 2
:
x + y2
Para estudiar la continuidad en el punto (0; 0) tenemos que calcular
lim f (x; y) lo que haremos a través de la trayectoria y = mx,(x;y)!(0;0)

mx2
m
= limarctg
2 + y2
x!0
x!0
x
2 + m2
(x;y)!(0;0)
que depende de la pendiente m, por lo que este limite no existe.
Por lo tanto f no es continua en el punto(0; 0)
b) Para (x; y) 6= (0; 0) la función admite derivadas parciales, que son:
@f
y 2 x2
@f
x2 y 2
(x; y) = y 2
;
(x; y) = x 2
@x
(x + y 2 )2 + x2 y 2
@y
(x + y 2 )2 + x2 y 2
Para (x; y) = (0; 0) ;se tiene
f(h; 0) f (0; 0)
arctg0 0
@f
(0; 0) = lim
= lim
= lim0 = 0
h!0
h!0
h!0
@x
h
h
f (0; h) f (0; 0)
arctg0 0
@f
(0; 0) = lim
= lim
= lim0 = 0
h!0
h!0
h!0
@y
h
h
Por lo tanto, existen las derivadas parciales en (x; y) = (0; 0) :
entonces

1.1.2

lim

f (x; mx) = limarctg

Problema

Dada la función f : IR2 ! IR de…nida como
8 2
< x seny 2
; si (x; y) 6= (0; 0)
f (x;y) =
;probar que es
x2 + y 2
:
0
; si (x; y) = (0; 0)

diferenciable en el punto P0 = (0; 0) :¿Es continua la función
en ese punto?
1

"

Solución.
Tenemos que utilizar la de…nición y ver si el siguiente límite es cero:
h2 senk 2
j f df j
p
; con
f = f (h; k) f (0; 0) = 2
;y
L=
lim
h + k2
(h;k)!(0;;0)
h2 + k 2
@f
@f
df =
(0; 0) h +
(0; 0) k
@x
@y
donde
h2 0
0
2@f
f (h; 0) f (0; 0)
(0; 0) = lim
= lim h
=0
h!0
h!0
@x
h
h
2
0 senk
0
@f
f (0; k) f (0; 0)
k2
(0; 0) = lim
= lim
=0
h!0
h!0
@y
k
k
h2 senk 2
p
Luego, df = 0; entonces L =
lim
2 + k 2 ) h2 + k 2
(h;k)!(0;;0) (h
h2 senk 2
h2 k 2
(h2 + k 2 )(h2 + k 2 ) p 2
g (x; y) =
= (h + k 2 ) <
3=2
3=2
3=2
(h2 + k 2 )
(h2 + k 2 )
(h2 + k 2 )

Si = " . Así L = 0 y f esdiferenciable en P0 = (0; 0) :
De lo anterior se deduce que f es es continua en (0; 0) ya que es diferenciable
en dicho punto.

1.2
1.2.1

Regla de la cadena
Problema

Sea la ecuación zxx + 2zxy + zy = 0 , donde
u+v
u v
u2 v 2
; y(u; v) =
; z(u; v) =
w (u; v)
2
2
4
Muestre que al cambiar las variables independientes (x; y) por (u; v) y la
función z por w la ecuación se reduce a2 4w uu = 0:
Solución
En primer lugar, calculamos la aplicación inversa
x(u; v) =

u(x; y) = x + y; v (x; y) = x

y:

Derivando parcialmente estas últimas expresiones se tiene:
ux = 1; uy = 1; vx = 1; vy = 1
Usando estos resultados y la regla de la cadena, obtenemos
zx = zu ux + zv vx = zu + zv
zy = zu uy + zv vy = zu
zv
Reiterando la derivacion parcial usando la regla de la cadenapor segunda vez
zxx = (zx )u ux + (zx )v vx = z uu + zvu + zuv + zvv
zxy = (zx )u uy + (zx )v vy = z uu + zvu
(zuv + zvv )
2

zyy = (zx )u uy + (zv )v vy = z uu
zvu
(zuv zvv )
Suponiendo que z es una función continua con primeras derivadas parciales
continuas, entonces
zxx + 2zxy + zy = 4z uu = 0
2u
1
Finalmente, zu =
wu =) z uu =
w uu
4
2
1
Por tanto:
w uu = 0
2
1.2.2Problema

Una función z = z (x; y) se dice que es armónica si tiene derivadas parciales de
segundo orden continuas y además zxx + zyy = 0:
y
x
; v= 2
: Pruebe que:
Sean u = 2
2
x +y
x + y2
i) u y v son armónicas
2
2
ii) (ux ) = (vy )
2
2
iii) (uy ) = (vx )
iv) ux vx = uy vy
y
x
b) Si f (x; y) es una función armónica, entonces la función w (x; y) = f
;
x2 + y 2 x2 + y 2...