matematicas

Tema 3.1: Interpretación geométrica de la
derivada. Aplicaciones conformes
Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09
E. de Amo
En esta lección pretendemos conectar la derivabilidad de las funciones complejas con una propiedad geométrica, cual es la conservación de ángulos, que,
a posteriori, caracterizará la existencia de derivada compleja (no nula) para las
funcionesdiferenciables (en el sentido real) con determinante jacobiano no nulo.
Así pues, obtendremos la interpretación geométrica de la derivada en el sentido complejo: serán aquellas funciones diferenciables (en el sentido real) que
conserven ángulos.
De…nición. Sean : [a; b] ! C una curva, t 2 [a; b] y z := (t). Diremos
que
admite tangente en t (aunque nos acostumbraremos a evitar el
parámetro y nosreferiremos directamente a z) cuando sea derivable en
t con 0 (t) 6= 0.
0

Inmediatamente se nos dan razones del porqué "es bueno" que la derivada
(t) no sea nula:

Lema. Sean
=
C, f 2 C ( ) y
: [a; b] !
una curva. Sea
b := f
. Para t 2 [a; b], sean z := (t) y w := f (z). Supongamos
que tiene tangente en z y que f es derivable en z con derivada no nula.
Entonces, la curva b tiene tangente enw con
Arg b0 (t) = Arg (f 0 (z)) + Arg (

0

(t)) :

Demostración. La regla de la cadena nos dice que b es derivable en t con
derivada no nula:
b0 (t) = f 0 (z) 0 (t) 6= 0:

Por tanto, la curva b tiene tangente en w: Usando las propiedades del argumento:
Arg b0 (t) = Arg (f 0 (z)

0

(t)) = Arg (f 0 (z)) + Arg (

0

(t)) :

La fórmula en el lema anterior nos da ya lainterpretación geométrica de la
derivada compleja (cuando f 0 (z) 6= 0): "cuando una curva con tangente en t
es transformada en otra curva b mediante una función derivable con f 0 (z) 6= 0,
1

(t) = z, la tangente de la curva en z experimenta un giro de ángulo (exactamente) igual al argumento de f 0 (z):"
Obsérvese que al ser transformada la curva en la b; el giro que experimenta
en el punto z nodepende de las curvas, si no de la función f que transforma
una en otra. Es decir, todas las curvas que pasen por z al ser tratadas por f
van a experimentar el mismo giro en dicho punto. Esto lo podemos formalizar
así:
De…nición. Sean dos curvas 1 : [a1 ; b1 ] ! C y 2 : [a2 ; b2 ] ! C que pasan
por un mismo punto z 2 C: existen t1 2 [a1 ; b1 ] y t2 2 [a2 ; b2 ] tales que
1 (t1 ) = 2 (t2 ) =z. Supongamos que ambas admiten tangente en z. Se
de…ne el ángulo de 1 y 2 en z como Arg( 0 (t1 )) Arg( 0 (t2 )).
1
2
Corolario.

Una función derivable con derivada no nula conserva los ángulos.

En efecto, usando el lema anterior:
Arg (

0
1

(t))

Arg b0 (t) = Arg (f 0 (z)) = Arg (
1

0
2

(t))

de donde se tiene que
Arg (

0
1

(t))

Arg (

0
2

(t)) = Argb0 (t)
1

Arg b0 (t) ;
2

Arg b0 (t) :
2

De…nición. Sean =
C, f 2 C ( ), z 2 y w := f (z). Se dice que f es
conforme en z si se veri…can las siguientes dos condiciones:
a.
b.

para toda curva en
con tangente en z, la curva transformada
b := f
tiene tangente en w; y
para 1 y 2 dos curvas en
f
2 ; entonces
Arg b0 (t)
1

que se corten en z y b1 := f

Arg b0 (t) = Arg (
20
1

(t))

Arg (

0
2

1 ; b2

:=

(t)) :

Es decir, ser conforme supone conservación de tangencia y de ángulos; en
concreto, el corolario anterior se lee ahora así:
Corolario. Si una función es derivable con derivada no nula en un punto,
entonces es conforme en dicho punto.
Vamos a encarar nuestro objetivo: hacer reversible el resultado anterior.
Bajo hipótesis naturalesde regularidad probaremos la condición a. en la de…nición anterior.
Lema. Sean
=
C, f 2 C ( ), z 2
y w := f (z). Supongamos que
f es diferenciable (en el sentido real) en z con determinante jacobiano no
nulo (jJf (z)j = 0). Si : [a; b] ! es una curva que pasa por z y tiene
6
tangente en dicho punto z, entonces la curva b := f
tiene tangente en
w.
2

Demostración. Para funciones de R...