Matematicas

FUNCIONES Y COMPOSICION DE FUNCIONES

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir unanueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor deg[f(x)].
Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(g o f) (x) = g [f(x)] = g(2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7
Ejemplos
1Sean las funciones:

1Calcular (f o g) (x)


2Calcular (g o f) (x)


2
1
2
3
1
2
Dominio de lacomposición de funciones
D(g o f) = {x ∈ Df / f(x) ∈ Dg}
Propiedades de la composición de funciones
1. Asociativa:
f o (g o h) = (f o g) o h
2. No es conmutativa.
f o g ≠g o f
3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
f o i = i o f = f
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b,entonces f−1(b) = a.
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominiode f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la funcióninversa, f−1(x), y la inversa de una función, .
Cálculo de la función inversa
1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2.Se despeja la variable x en función de la variabley.
3.Se intercambian las variables.
Ejemplos
Calcular la función inversa de:
1. 




Vamos a comprobar el resultado para x = 2




2. 




3.