Matematicas

Bloque 4. Cálculo

Tema 4 Aplicaciones de la derivada
Ejercicios resueltos
4.4-1 Resolver los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital:

senx
;
x 0
x
1  cos x
e) lim
;
x 0
x2

a) lim

e x  e x
;
x 0
senx
ln  senx 
f ) lim
;
x 0 ln  tagx 
b) lim

c ) lim x
x 



x



e 1 ;

d)

lim  x 

x

x 0

1

g ) lim   cotagx x 0  x


Solución
a) lim
x 0

senx
x

0 
  . Para evitarla,
0 
numerador y denominador y sustituimos x por cero:
Indeterminación

lim
x 0

de la

forma

derivamos

senx
cos x
 lim
1
x 0
x
1

e x  e x
b) lim
x 0
senx

0 
  . Para evitarla,
0 
numerador y denominador y sustituimos x por cero:

Indeterminación

de la

formaderivamos

e x  e x
e x  e x
lim
 lim
2
x 0
x 0 cos x
senx
c ) lim x
x 



x

e 1



Indeterminación de la forma

  0 .

0 
llegar a la indeterminación   o
0 
L’Hôpital:

lim x
x 

G3w



x

Para evitarla, operamos para





y aplicamos la regla de

1

1 x
e
1
2
e 1
e  1  lim
 lim x
 lim e x  1
x 
x 
x
1
1
 2
x
x



1
x

Conocimientos básicos de Matemáticas.



Bloque 4. Cálculo. Tema 4. Aplicaciones de la derivada

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

d)

lim  x 

x

x 0

Indeterminación de la forma 00 . Para evitarla, operamos para llegar a

0 
laindeterminación   o
y aplicamos la regla de L’Hôpital:

0 





lim  x   k  ln k  ln lim  x 
x

x 0

x 0

x

  lim ln  x    lim x ln x
x

x 0

x 0

1
ln x
Por lo tanto: ln k  lim x ln x  lim
 lim x   lim x  0
x 0
x 0
x 0
x 0
1
1
 2
x
x

ln k  0  k  e0  1  lim  x   1
x

x 0

1  cos x
x 0
x2

e) lim

0 
  . Paraevitarla, derivamos
0 
numerador y denominador dos veces y sustituimos x por cero:

Indeterminación

de

la

forma

1  cos x
senx
cos x 1
 lim
 lim

2
x 0
x 0 2 x
x 0
x
2
2

lim

f ) lim
x 0

ln  senx 
ln  tagx 




. Para evitarla,

numerador y denominador y sustituimos x por cero:

Indeterminación

de

la

forma

derivamos

cosx
ln  senx 
cos xtagx
senx
senx
lim
 lim
 lim
 lim

x 0 ln  tagx 
x 0 1
x 0
x 0 senx
1
senx

tgx cos2 x
cos2 x
cos2 x
 lim cos2 x  1
x 0

1

g ) lim   cotagx 
x 0  x

Indeterminación de la forma    . Para evitarla, operamos para

G3w

0 
llegar a la indeterminación   o
0 
L’Hôpital:
Conocimientos básicos de Matemáticas.




y aplicamos la regla de

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Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos

2

senx  x cos x
1

 1 cos x 
lim   cotagx   lim  

  lim
x 0
x  senx
x
 x 0  x senx  x 0
 lim

cos x  cos x  xsenx
xsenx
 lim

x0 senx  x cos x
senx  x cos x

 lim

senx  x cos x
0
 0
cos x  cos x  xsenx 2

x 0

x 0

4.4-2

Una compañía farmacéutica va a lanzar al mercado un nuevo
medicamento para uso veterinario. Los costes fijos de marketing, diseño
del envase, representantes, etc. suponen 6.000 €. La fabricación de
cada envase de medicamento tiene un coste de 2,5 € por unidad. Si
cada envasese vende a las distribuidoras a un precio de 4 €, ¿cuántos
envases debe vender la compañía para estar en el punto de equilibrio
(cuál es el número de envases por debajo del cuál tendrán pérdidas y
por encima beneficios)?

Solución
¿ x / Costos totales = Ingresos ?
¿ x / 6.000 + 2,5 x = 4x ?
Resolviendo esta ecuación se deduce que x = 4.000
Luego, el punto de equilibrio es 4.000...