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MATEMATICAS 1º Bachillerato

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r=A+lu A

d B s=B+mv

Ecuaciones y Sistemas
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

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c 2004 gonzaleof@unican.es 23 de abril de 2004

MATEMATICAS 1º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Ecuaciones 1.1. Cuadr´ticas a1.2. De grado mayor que 2 • Bicuadradas • Por Ruffini • Por factorizaci´n o 1.3. Con radicales 2. Sistemas 2.1. Sistemas lineales • Por reducci´n • Por sustituci´n o o 2.2. Sistemas no lineales 3. Inecuaciones en la recta real 3.1. Desigualdades • Propiedades de las desigualdades 3.2. Inecuaciones lineales 3.3. Inecuaciones no lineales 3.4. Sistemas de inecuaciones 4. Inecuaciones en el plano 4.1.Sistemas de inecuaciones Soluciones a los Ejercicios

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Secci´n 1: Ecuaciones o

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1. Ecuaciones 1.1. Cuadr´ticas a Recordamos que las ecuaciones de segundo grado o cuadr´ticas son de a la forma a x2 + b x + c = 0 a=0 (1) y sus soluciones se obtienen con laexpresi´n, o √ −b ± b2 − 4ac x= 2a

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(2)

Al radicando ∆ = b2 − 4 a c se le llama discriminante y seg´n su valor sea o u no positivo, la ecuaci´n tendr´ una, dos o ninguna soluci´n; o a o ∆ > 0 2 soluciones ∆ = 0 2 soluciones ∆ < 0 2 sin soluci´n o Ejemplo 1.1. Resolver la ecuaci´n x2 − 3 x − 4 = 0 o Soluci´n: o  √  x1= −1 2 − 4(1)(−4) 3 ± (−3) 3 ± 25 x= = ⇒  x2 = 4 2(1) 2

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Ejemplo 1.2. Resolver x + x+1=0 Soluci´n: o x= −1 ±

d

√ (1)2 − 4(1)(1) −1 ± −2 = ⇒ no tine soluci´n o 2(1) 2

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Cuando en la ecuaci´n 1 falta alg´n t´rmino se llama incompleta yse o u e puede sacar factor com´n o despejar : u Ejemplo 1.3. Resolver la ecuaci´n x2 + x = 0 o Soluci´n: Se saca factor com´n, o u   x1 = 0 x(x + 1) = 0 ⇒  x2 = −1 Ejemplo 1.4. Resolver la ecuaci´n x2 − 4 = 0 o Soluci´n: Se despeja o   x1 = 2 x2 − 4 = 0 ⇒ x2 = 4  x2 = −2

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1.2. De grado mayor que 2

• BicuadradasLas ecuaciones de cuarto grado sin potencias impares se llaman bicuadradas y son de la forma a x4 + b x2 + c = 0 a=0 (3) y sus soluciones se obtienen con la f´rmula ecuaci´n 2 o o √ −b ± b2 − 4ac x2 = 2a Ejemplo 1.5. Resolver la ecuaci´n o x4 − 3 x2 − 4 = 0 Soluci´n: o x =
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(4)

3±

√ (−3)2 − 4(1)(−4) 3 ± 25 =⇒ 2(1) 2

x2 = −1 x2 = 4

x = ±2

Ejercicio 1. Resolver las ecuaciones bicuadradas: a) x4 − 5 x2 + 6 = 0 b) x4 + 2 x2 − 3 = 0 c) x4 + 4 x2 + 3 = 0

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• Por Ruffini
El problema de encontrar m´todos directos para resolver las ecuaciones de e grado mayor que 2 tiene detr´s una gran historia y esfuerzo, (problema que a ocup´a generaciones de matem´ticos) y acumula unos 400 a˜os de grandes o a n esfuerzos. a x3 + b x2 + c x + d = 0 a=0 (5) Aqu´ mostramos un m´todo que es sencillo pero solo funciona en algunas ı e ocasiones. Le conocemos como el m´todo de Ruffini1 . e El caso m´s sencillo es cuando P (x) tenga alguna ra´ entera. En este a ız caso la ra´ tiene que ser un divisor del t´rmino independiente. Esto se debeız e al siguiente teorema. Teorema 1.1. Ra´ ıces enteras de un polinomio . Si x = a es una ra´ entera de ız P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 entonces a divide al t´rmino independiente a0 e

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Paolo RUFFINI (1765 - 1822)Matem´tico y m´dico italiano. a e

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