matematicas

Métodos de integración
Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas. Para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales, de los cuales los másextendidos son los llamados métodos de sustitución o cambio de variable y de integración por partes.
Método de sustitución
Uno de los dos procedimientos más habituales para la resoluciónde integralescomplicadas es el llamado método de sustitución o de cambio de variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera quela expresión resultante sea más fácil de integrar. Por ejemplo, la integral:

se simplifica notablemente si se aplica el cambio t = sen x. Entonces, se cumpliría que dt = cos x dx, con lo que laintegral quedaría reducida a:

Finalmente se desharía el cambio de variable, con lo que el resultado final sería:

Integración por partes
El método de la integración por partes se emplea parasimplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x)  v¿ (x). La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

Este método resultaindicado particularmente cuando v  du es más fácil de integrar que u  dv.
Cálculo de áreas
La integral de una función continua entre los dos extremos de un intervalo [a, b] y tal que f(x)  0  x  [a, b] coincide con el área comprendida entre dicha función, el eje horizontal y las dos rectas que delimitan los intervalos, de ecuaciones x = a y x = b.
Este principio puede servir también para calcularlas áreas comprendidas entre curvas, por simples operaciones aritméticas de adición y sustracción.

La integral de f (x) en el intervalo [a, b] coincide con el valor del área R.
Por convenio,dicha área se dice que es positiva cuando f (x)  0 en el intervalo, y negativa si f  0 en [a, b]. Cuando la función tiene signo variable, las partes de la misma situadas por encima del eje...